Cum rezolv ecuația z la puterea n egal a?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații binome

Scrii numărul din dreapta sub formă trigonometrică, $a = ρ (cos θ + i sin θ)$ , apoi iei modulul comun $n ρ$ și argumentele $\frac{θ + 2 k π}{n}$ , cu $k$ de la $0$ la $n - 1$ . Obții întotdeauna exact $n$ soluții diferite, indiferent de semnul sau de forma lui $a$ . Toate au același modul, deci imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat. Dacă ai găsit una singură, celelalte se obțin înmulțind-o cu rădăcinile unității.

O ecuație binomă are forma $z^{n} = a$ , cu $a \in C^{*}$ și $n \geq 2$ . Spre deosebire de $R$ (unde numărul soluțiilor depinde de semnul lui $a$ și de paritatea lui $n$ ), în $C$ ea are întotdeauna exact $n$ soluții distincte:

$z_{k} = n ρ (cos \frac{θ + 2 k π}{n} + i sin \frac{θ + 2 k π}{n}), k = 0, \dots, n - 1,$

unde $a = ρ (cos θ + i sin θ)$ . Toate soluțiile au același modul $n ρ$ și imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de rază $n ∣ a ∣$ .

Dacă ai găsit o soluție $z_{0}$ , restul se obțin înmulțind-o cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității: $z_{k} = z_{0} ε_{k}$ . Suma tuturor soluțiilor este $0$ (pentru $n \geq 2$ ), iar produsul lor este $(- 1)^{n + 1} a$ .

Ecuațiile care nu arată binom pot deveni binome după o substituție (de exemplu $(z + 1)^{3} = 8$ , cu $w = z + 1$ ), dar o ecuație cu trei termeni, precum cea bipătrată, nu este binomă — ea se rezolvă separat, cu $t = z^{2}$ , obținând apoi câte o ecuație binomă pentru fiecare valoare a lui $t$ .

Algoritmul complet: aduci $a$ la forma trigonometrică cu argumentul redus în $[0, 2 π)$ , extragi radicalul real din modul, împarți argumentul la $n$ pentru primul termen, apoi aduni succesiv rația $\frac{2 π}{n}$ . Cel mai frecvent la examen apar $n \in {2, 3, 4, 6}$ , cu $a$ ales astfel încât argumentele rezultate să fie remarcabile.

De reținut

$z_{k} = n ρ (cos \frac{θ + 2 k π}{n} + i sin \frac{θ + 2 k π}{n})$ , $k = 0, \dots, n - 1$
exact $n$ soluții, toate de modul $n ∣ a ∣$
suma soluțiilor: $0$ ; produsul: $(- 1)^{n + 1} a$

Greșeala tipică

Se numără soluțiile după regulile din mulțimea numerelor reale, unde semnul lui $a$ și paritatea lui $n$ hotărăsc câte există. Peste numerele complexe sunt întotdeauna $n$ soluții diferite.

Exerciții din această mini-lecție

Câte soluții are, în $C$ , ecuația $z^{5} = - 32$ ?
- a) $5$
- b) $1$
- c) $0$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

O ecuație binomă $z^{n} = a$ are, în $C$ , întotdeauna exact $n$ soluții, indiferent de semnul lui $a$ .
Care este modulul comun al soluțiilor ecuației $z^{3} = - 125$ ?
- a) $125$
- b) $5$
- c) $- 5$
- d) $\approx 15, 625$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Modulul comun este $3 ∣ - 125∣ = 3125 = 5$ .
Rezolvați $z^{2} = - 49$ . Care este una dintre soluții?
- a) $- 7$
- b) $7$
- c) $7 i$
- d) $49 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7 i$

$(7 i)^{2} = 49 i^{2} = - 49$ , deci $7 i$ este soluție (cealaltă e $- 7 i$ ).

Întrebări conexe

Ce rază are cercul pe care stau soluțiile?

Rădăcina de ordinul $n$ din modulul numărului din membrul drept. Toate soluțiile au același modul, deci se așază pe un cerc cu centrul în origine, la distanțe egale una de alta. Raza nu depinde deloc de argumentul numărului dat.

De unde vine pasul dintre argumentele a două soluții vecine?

Din împărțirea cercului întreg la numărul de soluții: fiecare pas măsoară $\frac{2 π}{n}$ . Argumentul primei soluții este argumentul numărului dat împărțit la $n$ , iar celelalte se obțin adunând pasul de fiecare dată.

Ce ecuație binomă are drept soluții rădăcinile unității?

Ecuația $z^{n} = 1$ . Soluțiile ei se numesc rădăcini de ordinul $n$ ale unității, au toate modulul $1$ și stau în vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul unitate. Una dintre ele este întotdeauna numărul $1$ .

Cum trec la forma trigonometrică înainte de a rezolva?

Calculezi modulul cu rădăcina din suma pătratelor părților și afli argumentul din semnele lor și din raportul lor. Abia după scrierea trigonometrică se poate aplica formula rădăcinilor, fiindcă ea lucrează cu modul și cu argument.

Ce simetrie au soluțiile când numărul din dreapta este real?

Sunt așezate simetric față de axa reală, deci fiecare soluție nereală vine la pachet cu conjugata ei. De aceea numărul soluțiilor nereale este întotdeauna par, iar cele reale stau chiar pe axă.

Ce se schimbă dacă exponentul este par sau impar?

La exponent impar și număr real dat, ecuația are exact o soluție reală; la exponent par ea are două soluții reale dacă numărul este pozitiv și niciuna dacă este negativ. Restul soluțiilor rămân nereale în amândouă cazurile.

Oamenii mai întreabă și: ecuații binome · câte soluții are z la puterea n egal a · cum rezolv z la a treia egal 8 · soluțiile unei ecuații binome · poligonul soluțiilor