Rezolvați în $$\mathbb{C}$$ ecuația $$x^4-3x^2-10=0$$.

$$\{\sqrt5,-\sqrt5,i\sqrt2,-i\sqrt2\}$$

$$\{\sqrt5,-\sqrt5,\sqrt2,-\sqrt2\}$$

$$\{i\sqrt5,-i\sqrt5,\sqrt2,-\sqrt2\}$$

De ce nu sunt y₁ și y₂ soluțiile ecuației inițiale?

Pentru că ele sunt valorile pătratului, nu ale necunoscutei. Din y=4 nu rezultă că 4 este soluție, ci că x²=4, deci x=±2. Oprirea la valorile substituției este cea mai costisitoare greșeală de la acest capitol.

Cum rezolv o ecuație bipătrată?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Gradul patru ascunde un gradul doi

O ecuație bipătrată are forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , cu necunoscuta numai la puteri pare. Notezi $x^{2} = y$ , rezolvi $a y^{2} + b y + c = 0$ , apoi te întorci: din fiecare $y$ pozitiv ies $x = \pm y$ , din $y = 0$ iese $x = 0$ dublă, iar din $y$ negativ ies rădăcini pur imaginare. La $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ obții $y = 1$ și $y = 4$ , deci $x \in {- 2, - 1, 1, 2}$ . Suma rădăcinilor iese mereu zero.

O ecuație bipătrată are forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : necunoscuta apare doar prin puteri pare, fără $x^{3}$ și fără $x$ . Substituția $x^{2} = y$ o transformă în $a y^{2} + b y + c = 0$ , o ecuație obișnuită de gradul al doilea, care se rezolvă imediat. Capcana lecției este că rezolvarea nu se oprește la valorile $y_{1}, y_{2}$ — acelea sunt valorile lui $x^{2}$ , nu ale lui $x$ . Fiecare $y_{k}$ trebuie tradus înapoi, după semn: dacă $y_{k} > 0$ , obții $x = \pm y_{k}$ (două rădăcini reale); dacă $y_{k} = 0$ , obții $x = 0$ dublă; iar dacă $y_{k} < 0$ , obții $x = \pm i - y_{k}$ — rădăcini pur imaginare, noutatea clasei a X-a față de gimnaziu.

Pentru că ecuația conține doar puteri pare, $f (- x) = f (x)$ , deci rădăcinile sunt simetrice: dacă $x_{0}$ e rădăcină, și $- x_{0}$ este, iar suma tuturor rădăcinilor este mereu $0$ — o verificare rapidă la final. Descompunerea naturală este $a x^{4} + b x^{2} + c = a (x^{2} - y_{1}) (x^{2} - y_{2})$ : factorii cu $y_{k} > 0$ se sparg mai departe în doi factori liniari, iar cei cu $y_{k} < 0$ rămân ireductibili peste $R$ , dar se sparg peste $C$ . Dacă $y_{1} = y_{2} \neq = 0$ (discriminant nul în $y$ ), obții două rădăcini distincte în $x$ , fiecare dublă. Dacă $y_{1} = y_{2} = 0$ , ecuația este $a x^{4} = 0$ : singura rădăcină distinctă este $x = 0$ , de multiplicitate patru. Totalul cu multiplicitate rămâne $4$ .

De reținut

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , substituția $x^{2} = y$
$y > 0$ dă $\pm y$ ; $y < 0$ dă $\pm i - y$
suma celor patru rădăcini este $0$

Greșeala tipică

Valorile negative ale substituției sunt aruncate cu observația că nu au soluție. În mulțimea numerelor complexe, din $x^{2} = - 4$ ies $x = \pm 2 i$ , deci jumătate din rădăcini s-ar pierde.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $C$ ecuația $x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$ .
- a) ${5, - 5, 2, - 2}$
- b) ${25, - 25, 4, - 4}$
- c) ${5, - 5, 4, - 4}$
- d) ${10, - 10, 2, - 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${5, - 5, 2, - 2}$

Cu $x^{2} = y$ : $y^{2} - 29 y + 100 = 0$ , $Δ = 841 - 400 = 441$ , deci $y = \frac{29 \pm 21}{2}$ : $y_{1} = 25$ , $y_{2} = 4$ . Din $x^{2} = 25$ : $x = \pm 5$ ; din $x^{2} = 4$ : $x = \pm 2$ .
Rezolvați în $C$ ecuația $x^{4} - 3 x^{2} - 10 = 0$ .
- a) ${5, - 5, 2, - 2}$
- b) ${5, - 5, i 2, - i 2}$
- c) ${5, - 5, i 2, - i 2}$
- d) ${i 5, - i 5, 2, - 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${5, - 5, i 2, - i 2}$

Cu $x^{2} = y$ : $y^{2} - 3 y - 10 = 0$ , $Δ = 9 + 40 = 49$ , deci $y = \frac{3 \pm 7}{2}$ : $y_{1} = 5$ , $y_{2} = - 2$ . Din $x^{2} = 5$ : $x = \pm 5$ (reale); din $x^{2} = - 2$ : $x = \pm i 2$ (pur imaginare).
Rezolvați în $C$ ecuația $x^{4} + 13 x^{2} + 36 = 0$ .
- a) ${2, - 2, 3, - 3}$
- b) ${4 i, - 4 i, 9 i, - 9 i}$
- c) ${2 i, - 2 i, 3 i, - 3 i}$
- d) ${2 i, - 2 i, - 3, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${2 i, - 2 i, 3 i, - 3 i}$

Cu $x^{2} = y$ : $y^{2} + 13 y + 36 = 0$ , $Δ = 169 - 144 = 25$ , deci $y = \frac{- 13 \pm 5}{2}$ : $y_{1} = - 4$ , $y_{2} = - 9$ , ambele negative. Din $x^{2} = - 4$ : $x = \pm 2 i$ ; din $x^{2} = - 9$ : $x = \pm 3 i$ .

Întrebări conexe

Ce substituție folosesc la o ecuație bipătrată?

Notezi pătratul necunoscutei cu o literă nouă, de obicei $x^{2} = y$ ; atunci $x^{4}$ devine $y^{2}$ , iar ecuația coboară la gradul al doilea. Substituția funcționează tocmai pentru că lipsesc termenii cu putere impară, deci nu rămâne nimic în afara noii necunoscute.

De ce nu sunt $y_{1}$ și $y_{2}$ soluțiile ecuației inițiale?

Pentru că ele sunt valorile pătratului, nu ale necunoscutei. Din $y = 4$ nu rezultă că $4$ este soluție, ci că $x^{2} = 4$ , deci $x = \pm 2$ . Oprirea la valorile substituției este cea mai costisitoare greșeală de la acest capitol.

Ce obțin dacă una dintre valorile lui $y$ este zero?

Din $x^{2} = 0$ iese o singură valoare, $x = 0$ , dar socotită ca rădăcină dublă, fiindcă factorul $x^{2}$ apare la puterea a doua în descompunere. Numărul total de rădăcini, socotite cu multiplicități, rămâne astfel egal cu patru.

Cât face suma rădăcinilor unei ecuații bipătrate?

Este întotdeauna zero, pentru că rădăcinile se grupează în perechi de numere opuse: dacă $x_{0}$ anulează ecuația, la fel face și $- x_{0}$ . Explicația vine din faptul că polinomul are numai puteri pare, deci valoarea lui nu se schimbă la schimbarea semnului.

Când are o ecuație bipătrată rădăcini duble?

Atunci când ecuația de gradul al doilea în $y$ are discriminantul nul, deci cele două valori coincid. Fiecare valoare a necunoscutei obținută mai departe apare de două ori, iar numărul rădăcinilor distincte scade la două, deși gradul rămâne $4$ .

Cum scriu corect $- 9$ la o ecuație bipătrată?

Nu îl lași sub această formă. Din $x^{2} = - 9$ scrii $x = \pm 3 i$ , folosind $i^{2} = - 1$ . Scrierea cu radical dintr-un număr negativ nu are sens în notațiile clasei a zecea; rezultatul se dă direct ca număr pur imaginar.

Oamenii mai întreabă și: ecuație bipătrată · cum rezolv ecuații bipătrate · substituția x la a doua egal y · ecuații de gradul patru cu puteri pare