Cum rezolv o ecuație exponențială?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații exponențiale elementare

Aduci ambii membri la aceeași bază, apoi egalezi exponenții și rezolvi ecuația rămasă. Pasul este permis fiindcă puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali, atâta timp cât baza este pozitivă și diferită de $1$ . De exemplu, $2^{x} = 32$ devine $2^{x} = 2^{5}$ , deci $x = 5$ . Când apar mai mulți termeni de aceeași bază, dai factor comun; când apar puteri de forma $a^{2 x}$ , notezi $t = a^{x}$ și pui condiția $t > 0$ .

Ecuațiile în care necunoscuta stă la exponent se numesc exponențiale. Regula fundamentală pe care se sprijină rezolvarea lor vine din injectivitate: $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ , pentru $a > 0$ și $a \neq = 1$ .

Ecuația elementară $a^{x} = b$ nu are soluții pentru $b \leq 0$ (exponențiala e strict pozitivă); pentru $b > 0$ are exact o soluție, imediată dacă $b$ este o putere „frumoasă” a lui $a$ . Metoda principală este aducerea la aceeași bază: rescrii toate puterile cu aceeași bază, egalezi exponenții, rezolvi ecuația rezultată și verifici în ecuația inițială.

La ecuații cu mai mulți termeni de aceeași bază (de exemplu $a^{x + 1} + a^{x} = c$ ), se descompune exponentul compus, $a^{x + k} = a^{x} \cdot a^{k}$ , și se dă factor comun. La ecuații de gradul al doilea în $a^{x}$ , prima substituție este $t = a^{x}$ , cu condiția obligatorie $t > 0$ — rădăcinile negative sau nule ale ecuației în $t$ se resping explicit, pentru că nu provin de la niciun $x$ real.

Greșeli frecvente: egalarea exponenților fără bază comună, uitarea condiției $t > 0$ , declararea unei soluții acolo unde ecuația nu are niciuna (de exemplu $3^{x} = - 9$ are $S = \emptyset$ ) și confuzia dintre $a^{x + k}$ (produs) și $a^{x} + a^{k}$ (sumă, greșit).

De reținut

$a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ )
$a^{x + k} = a^{x} \cdot a^{k}$
$a^{x} = b$ cere $b > 0$

Greșeala tipică

Se desface $2^{x + 3}$ ca $2^{x} + 2^{3}$ . Exponenții compuși se rup în produs, nu în sumă, deci scrierea corectă este $2^{x} \cdot 8$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația $a^{x} = b$ , cu $a > 0, a \neq = 1$ , nu are soluții atunci când:
- a) $b \leq 0$
- b) $b = a$
- c) $b > 0$
- d) $b = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $b \leq 0$

Cum $a^{x} > 0$ pentru orice $x$ , ecuația nu poate avea soluții dacă membrul drept este zero sau negativ.
Rezolvați $2^{x} = 32$ .
- a) $16$
- b) $5$
- c) $6$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

$32 = 2^{5}$ , deci prin injectivitate $x = 5$ .
La substituția $t = a^{x}$ într-o ecuație exponențială, condiția obligatorie este:
- a) $t \in Z$
- b) $t \geq 0$
- c) $t > 0$
- d) $t \neq = a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $t > 0$

Funcția exponențială ia doar valori strict pozitive, deci orice soluție $t \leq 0$ a ecuației auxiliare trebuie respinsă.

Întrebări conexe

Pe ce proprietate se sprijină rezolvarea ecuațiilor exponențiale?

Pe injectivitate: dacă $a^{u} = a^{v}$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , atunci $u = v$ . Ea permite trecerea de la o egalitate între puteri la una între exponenți. Fără condiția asupra bazei pasul ar fi greșit, fiindcă orice putere a lui $1$ dă tot $1$ .

Cum rezolv ecuația 2 la puterea x egal 32?

Scrii membrul drept ca putere a aceleiași baze: $32 = 2^{5}$ . Ecuația devine $2^{x} = 2^{5}$ , iar prin injectivitate obții $x = 5$ . Verificarea e imediată, fiindcă $2^{5}$ chiar face $32$ , deci răspunsul este bun.

Cum desfac exponentul compus din 2 la puterea x plus 3?

Îl rupi într-un produs, nu într-o sumă: $2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3} = 8 \cdot 2^{x}$ . Desfacerea aceasta pregătește factorul comun sau substituția. Scrierea ca $2^{x} + 2^{3}$ ar fi complet greșită și schimbă cu totul ecuația.

Cum rezolv ecuația 2 la puterea x plus 1, plus 2 la puterea x, egal 24?

Desfaci primul termen ca $2 \cdot 2^{x}$ , apoi dai factor comun puterea rămasă: $2^{x} (2 + 1) = 24$ , adică $3 \cdot 2^{x} = 24$ . Împărțind la $3$ obții $2^{x} = 8$ , iar $8$ este $2^{3}$ , deci $x = 3$ . Verificarea în ecuația de plecare dă $16 + 8 = 24$ , ceea ce confirmă răspunsul.

Ce înseamnă aducerea la aceeași bază într-o ecuație exponențială?

Înseamnă să rescrii toate puterile pornind de la un singur număr, ales de obicei cel mai mic dintre ele. Numerele $4$ , $8$ și $16$ devin astfel puteri ale lui $2$ , iar $\frac{1}{9}$ devine $3^{- 2}$ . Abia după rescriere exponenții pot fi comparați.

Când are ecuația a la x egal b exact o soluție?

Atunci când $b$ este strict pozitiv. Funcția exponențială acoperă exact intervalul valorilor pozitive și nu repetă nicio valoare, deci fiecare $b > 0$ vine de la un singur exponent. Pentru $b$ nul sau negativ nu există niciun răspuns.

Oamenii mai întreabă și: ecuații exponențiale · cum rezolv 2 la puterea x egal 32 · aducerea la aceeași bază · ecuație cu necunoscuta la exponent · ecuații exponențiale rezolvate