Ecuațiile omogene de tipul $$\alpha\cdot4^x+\beta\cdot6^x+\gamma\cdot9^x=0$$ se rezolvă prin:

împărțire la una dintre puterile extreme (de exemplu $$9^x$$)

Când folosesc substituția la exponențiale?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații exponențiale prin substituție

Atunci când în ecuație apar două puteri ale aceleiași baze, dintre care una este pătratul celeilalte, ca în $α a^{2 x} + β a^{x} + γ = 0$ . Notezi $t = a^{x}$ , observi că $a^{2 x} = t^{2}$ și obții o ecuație de gradul al doilea. Notarea vine cu o condiție care nu se sare: $t > 0$ , fiindcă nicio putere reală nu poate fi nulă sau negativă. Rădăcinile care nu o respectă se resping motivat, iar celelalte se întorc în $a^{x} = t$ .

Ecuațiile de forma $α a^{2 x} + β a^{x} + γ = 0$ nu se pot aduce la aceeași bază — dar sunt, de fapt, ecuații de gradul al doilea deghizate. Cu notația $t = a^{x}$ , cum $a^{2 x} = (a^{x})^{2} = t^{2}$ , ecuația devine $α t^{2} + β t + γ = 0$ .

Substituția vine cu o condiție obligatorie: $t > 0$ , pentru că funcția exponențială e strict pozitivă. Rădăcinile în $t$ care nu respectă asta se resping explicit, motivat, nu doar se ignoră. Exponenții compuși se descompun înainte de substituție: $a^{x + k} = a^{k} \cdot t$ , $a^{2 x + 1} = a \cdot t^{2}$ , $a^{k - x} = \frac{a ^{k}}{t}$ .

Ecuațiile omogene (de tipul $α \cdot 4^{x} + β \cdot 6^{x} + γ \cdot 9^{x} = 0$ ) se rezolvă împărțind la una dintre puterile extreme — operație permisă, pentru că orice putere exponențială este strict pozitivă și nu se poate anula.

Când bazele au produsul $1$ (baze conjugate, ca $2 \pm 3$ ), a doua putere este inversa primei, iar ecuația ia forma $t + \frac{1}{t} = m$ . La final, revii la variabila inițială rezolvând ecuațiile elementare $a^{x} = t_{i}$ pentru fiecare rădăcină validă. Greșeli frecvente: uitarea condiției $t > 0$ , confuzia $a^{2 x}$ cu $2 a^{x}$ și oprirea calculului la valoarea lui $t$ , uitând că necunoscuta reală este $x$ .

De reținut

$t = a^{x}$ , cu $t > 0$
$a^{2 x} = t^{2}$ , nu $2 t$
omogene: se împarte la o putere extremă

Greșeala tipică

Se acceptă și rădăcina negativă a trinomului în $t$ și se caută mai departe un exponent pentru ea. Nicio putere cu bază pozitivă nu poate fi negativă, deci acea rădăcină se respinge.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru o ecuație de forma $α a^{2 x} + β a^{x} + γ = 0$ , notația potrivită este:
- a) $t = a^{x}$
- b) $t = 2 x$
- c) $t = x^{2}$
- d) $t = a^{2 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $t = a^{x}$

Cu $t = a^{x}$ , rezultă $a^{2 x} = t^{2}$ , iar ecuația devine un trinom de gradul al doilea în $t$ .
Condiția obligatorie la substituția $t = a^{x}$ este:
- a) $t \in N$
- b) $t > 0$
- c) $t < 0$
- d) $t = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $t > 0$

Funcția exponențială ia numai valori strict pozitive, deci $t = a^{x}$ trebuie să fie strict pozitiv.
Ecuațiile omogene de tipul $α \cdot 4^{x} + β \cdot 6^{x} + γ \cdot 9^{x} = 0$ se rezolvă prin:
- a) nu se pot rezolva algebric
- b) logaritmare directă
- c) împărțire la una dintre puterile extreme (de exemplu $9^{x}$ )
- d) aducere la aceeași bază
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) împărțire la una dintre puterile extreme (de exemplu $9^{x}$ )

Împărțind la $9^{x} > 0$ (operație permisă, pentru că $9^{x}$ nu se anulează niciodată), ecuația devine un trinom în $t = (2/3)^{x}$ .

Întrebări conexe

Cu ce notez ca să transform o ecuație exponențială într-una de gradul al doilea?

Cu puterea cea mai mică, adică $t = a^{x}$ . Atunci $a^{2 x}$ devine $t^{2}$ , iar ecuația capătă forma unui trinom. Alegerea trebuie făcută astfel încât toate puterile din enunț să se exprime prin $t$ , altfel substituția nu simplifică nimic.

Ce soluții are ecuația 9 la x minus 4 ori 3 la x plus 3 egal 0?

Notezi $t = 3^{x}$ , cu $t > 0$ , iar $9^{x}$ devine $t^{2}$ , fiindcă $9 = 3^{2}$ . Trinomul $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ are rădăcinile $t = 1$ și $t = 3$ , amândouă pozitive, deci amândouă se păstrează. Revenind la exponent, $3^{x} = 1$ dă $x = 0$ , iar $3^{x} = 3$ dă $x = 1$ .

Cum descompun exponenții compuși înainte de substituție?

Îi rupi în produse de puteri: $a^{x + k}$ devine $a^{k} \cdot t$ , $a^{2 x + 1}$ devine $a \cdot t^{2}$ , iar $a^{k - x}$ devine $\frac{a ^{k}}{t}$ . Pasul acesta se face înaintea notării, altfel unele expresii nu se pot scrie prin $t$ .

De ce se poate împărți o ecuație omogenă la una dintre puterile extreme?

Fiindcă orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă, deci nu se anulează niciodată și împărțirea nu pierde soluții. După împărțirea la $9^{x}$ , o ecuație cu $4^{x}$ , $6^{x}$ și $9^{x}$ devine un trinom în $(\frac{2}{3})^{x}$ .

Cu ce este egal a la puterea 2x, scris prin a la puterea x?

Cu pătratul lui: $a^{2 x} = (a^{x})^{2}$ , fiindcă exponentul dublat înseamnă putere ridicată la pătrat. Confuzia cu dublul, adică $2 a^{x}$ , este frecventă. Verificare numerică: $2^{6} = 64$ , în timp ce $2 \cdot 2^{3} = 16$ .

Ce fac cu rădăcinile negative ale ecuației auxiliare?

Le respingi, scriind explicit motivul: puterea $a^{x}$ nu poate lua valori negative sau nule. Respingerea se notează în rezolvare, nu se sare tăcut, fiindcă baremul cere justificarea. Restul rădăcinilor se întorc apoi în egalitatea de plecare.

Oamenii mai întreabă și: substituție la ecuații exponențiale · ecuație exponențială de tip pătratic · notez t egal a la x · ecuații exponențiale omogene · de ce t trebuie să fie pozitiv