Cum rezolv o ecuație logaritmică?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații logaritmice

Scrii întâi condițiile de existență, apoi rezolvi, apoi compari răspunsurile găsite cu acele condiții și, la final, verifici în ecuația de la care ai plecat. Trecerea uzuală este $lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}$ , iar când ai logaritmi egali în aceeași bază, egalezi argumentele. De exemplu, $lo g_{2} (x - 3) + lo g_{2} (x + 3) = 4$ duce la $x^{2} = 25$ , iar dintre $\pm 5$ rămâne doar $5$ . Restrângerea poate produce răspunsuri care nu se potrivesc, de aceea verificarea nu se sare.

La orice ecuație logaritmică se aplică rețeta în patru pași: (1) condițiile de existență (CE) — argument $> 0$ , iar dacă baza conține necunoscuta, și bază $> 0$ , bază $\neq = 1$ ; (2) rezolvarea; (3) confruntarea soluțiilor cu CE, cu respingeri explicite; (4) verificarea în ecuația inițială. Calculul corect nu garantează un răspuns corect: restrângerea logaritmilor ( $lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ ) lărgește domeniul și poate fabrica soluții străine.

Tipurile de bază: $lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}$ (trecere la forma exponențială); $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ , prin injectivitate, cu condiția $f (x) > 0$ ; ecuațiile polinomiale în $lo g_{a} x$ se rezolvă prin substituția $t = lo g_{a} x$ , caz în care soluțiile străine sunt imposibile, pentru că revenirea $x = a^{t}$ dă automat $x > 0$ .

Atenție: nu orice a doua rădăcină se respinge automat — uneori ambele rădăcini ale ecuației algebrice rezultate respectă CE și rămân valide. Decizia se ia comparând efectiv cu condițiile scrise la început, nu ghicind după semnul rădăcinii.

De reținut

$lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}$
$lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ , cu $f (x) > 0$
substituția $t = lo g_{a} x$ nu produce soluții străine

Greșeala tipică

Se verifică răspunsul doar în forma restrânsă a ecuației. Controlul se face în forma de la care s-a plecat, fiindcă acolo pot apărea logaritmi din numere negative.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați ecuația $lo g_{2} (x - 3) + lo g_{2} (x + 3) = 4$ , ținând cont de condițiile de existență.
- a) $S = {5}$
- b) $S = {- 5, 5}$
- c) $S = {- 5}$
- d) $S = {4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {5}$

CE: $x > 3$ . Restrângem: $lo g_{2} ((x - 3) (x + 3)) = 4 \Rightarrow x^{2} - 9 = 16 \Rightarrow x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ . Cum $- 5$ nu verifică $x > 3$ , se respinge. Rămâne $S = {5}$ ; verificare: $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8 = 1 + 3 = 4$ ✓.
Care este condiția de existență a ecuației $l g (x + 2) - l g (x - 1) = l g 5$ ?
- a) $x > - 2$
- b) $x > 1$
- c) $x \neq = 1$
- d) $x \in (- 2, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x > 1$

Trebuie simultan $x + 2 > 0$ (adică $x > - 2$ ) și $x - 1 > 0$ (adică $x > 1$ ). Intersecția celor două este $x > 1$ — condiția mai restrictivă «câștigă».
Rezolvați ecuația $lo g_{x} 25 = 2$ ( $x > 0$ , $x \neq = 1$ ).
- a) $x = - 5$
- b) $x = \pm 5$
- c) $x = 5$
- d) $x = 5$ sau $x = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = 5$

Forma exponențială: $x^{2} = 25$ , deci $x = 5$ sau $x = - 5$ . Baza unei puteri logaritmice trebuie să fie strict pozitivă, deci $x = - 5$ se respinge. Rămâne $x = 5$ ; verificare: $5^{2} = 25$ ✓.

Întrebări conexe

Care sunt cei patru pași ai rezolvării unei ecuații logaritmice?

Întâi scrii condițiile de existență, apoi rezolvi ecuația prin trecere la forma exponențială sau prin egalarea argumentelor, apoi confrunți fiecare răspuns cu acele condiții și respingi motivat ce nu se potrivește, iar la final înlocuiești în forma de plecare. Niciunul dintre pași nu se sare.

Ce soluție are ecuația logaritm în baza 2 din x minus 3, plus logaritm în baza 2 din x plus 3, egal 4?

Condiția de existență cere $x > 3$ . Restrângi suma într-un singur logaritm, obții $x^{2} - 9 = 16$ , deci $x^{2} = 25$ și $x = \pm 5$ . Valoarea $- 5$ nu respectă condiția și se respinge, așa că rămâne $x = 5$ . Verificare: $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8 = 1 + 3 = 4$ .

De ce poate restrângerea logaritmilor să fabrice soluții în plus?

Fiindcă suma a doi logaritmi cere ambele argumente pozitive, în timp ce logaritmul produsului cere doar ca produsul să fie pozitiv, ceea ce se întâmplă și când amândouă sunt negative. Domeniul se lărgește, deci pot apărea numere care rezolvă forma restrânsă, dar nu și pe cea de plecare.

Ce soluție are ecuația logaritm în baza x din 25 egal 2?

Treci la forma exponențială: $x^{2} = 25$ , de unde $x = 5$ sau $x = - 5$ . Baza unui logaritm trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$ , deci valoarea negativă se respinge. Rămâne $x = 5$ , care se verifică imediat, fiindcă $5^{2}$ chiar face $25$ .

Cât este produsul soluțiilor ecuației lg la pătrat din x, minus lg din x, minus 2, egal 0?

Notezi $t = l g x$ și obții ecuația $t^{2} - t - 2 = 0$ , cu rădăcinile $t = 2$ și $t = - 1$ . Revenind prin $x = 1 0^{t}$ , rezultă $x = 100$ și $x = 0, 1$ , amândouă strict pozitive, deci amândouă valabile. Produsul cerut este $100 \cdot 0, 1 = 10$ . Substituția aceasta nu produce niciodată răspunsuri de respins.

Ce se schimbă când baza logaritmului este subunitară?

Funcția devine descrescătoare, așa că la trecerea de la logaritmi la argumente sensul inegalității se întoarce. La ecuații nu se schimbă nimic, fiindcă egalitatea rămâne egalitate. Condițiile de existență se scriu la fel: argumentele strict pozitive, baza pozitivă și diferită de $1$ .

Oamenii mai întreabă și: ecuații logaritmice · cum rezolv o ecuație cu logaritmi · condiții de existență la ecuații logaritmice · soluții străine la logaritmi · ecuații logaritmice rezolvate