Rezolvați în $$\mathbb{C}$$ ecuația $$3x^3+7x^2+7x+3=0$$.

$$\left\{-1,\ \dfrac{-2+i\sqrt5}{3},\ \dfrac{-2-i\sqrt5}{3}\right\}$$

$$\left\{-1,\ \dfrac{2\pm i\sqrt5}{3}\right\}$$

$$\left\{-3,\ \dfrac{-2\pm i\sqrt5}{3}\right\}$$

$$\left\{1,\ \dfrac{-2\pm i\sqrt5}{3}\right\}$$

Rezolvați în $$\mathbb{C}$$ ecuația $$x^4-6x^3+7x^2-6x+1=0$$.

$$\left\{\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2},\ \dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}\right\}$$

$$\left\{\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2},\ \dfrac{1\pm\sqrt3}{2}\right\}$$

$$\left\{5\pm\sqrt{21},\ 1\pm i\sqrt3\right\}$$

$$\left\{\dfrac{6\pm\sqrt{21}}{2},\ \dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}\right\}$$

Ecuația $$2x^3+5x^2-5x-2=0$$ este reciprocă de speța a doua. Rezolvați-o în $$\mathbb{R}$$.

$$\left\{1,\ \dfrac{-7+\sqrt{33}}{4},\ \dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}\right\}$$

$$\left\{1,\ \dfrac{7\pm\sqrt{33}}{4}\right\}$$

$$\left\{-1,\ \dfrac{-7\pm\sqrt{33}}{4}\right\}$$

$$\left\{1,\ \dfrac{-5\pm\sqrt{33}}{4}\right\}$$

Cum rezolv o ecuație reciprocă?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuația palindrom

O ecuație este reciprocă atunci când coeficienții citiți de la un capăt și de la celălalt coincid. La grad impar, $- 1$ este mereu rădăcină, deci cobori gradul cu schema lui Horner. La gradul al patrulea împarți cu $x^{2}$ , permis fiindcă $0$ nu poate fi rădăcină, și notezi $y = x + \frac{1}{x}$ , folosind $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ . Astfel $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ devine $y^{2} - 5 y + 6 = 0$ .

O ecuație $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ este reciprocă (speța întâi) dacă coeficienții egal depărtați de capete sunt egali, $a_{k} = a_{n - k}$ — un palindrom numeric. Consecința esențială: dacă $x_{0}$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x _{0}}$ este rădăcină (demonstrația împarte $f (x_{0}) = 0$ la $x_{0}^{n}$ și folosește simetria coeficienților); în plus, $x = 0$ nu poate fi niciodată rădăcină, pentru că $a_{0} = a_{n} \neq = 0$ . La gradul impar, termenii se anulează doi câte doi în $f (- 1)$ , deci $x = - 1$ este mereu rădăcină — cobori gradul cu schema lui Horner și rezolvi ce rămâne.

La gradul al patrulea ( $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$ ), metoda specifică este împărțirea cu $x^{2}$ (permisă, fiindcă $x \neq = 0$ ) și notarea $y = x + \frac{1}{x}$ ; din ridicarea la pătrat rezultă relația-cheie $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ , care coboară ecuația la gradul al doilea în $y$ : $a y^{2} + b y + (c - 2 a) = 0$ . Pentru fiecare $y_{k}$ găsit, te întorci rezolvând $x^{2} - y_{k} x + 1 = 0$ , ale cărei rădăcini au produsul $1$ — perechi de numere inverse, exact ce prezice teorema. Există și o speță a doua, $a_{k} = - a_{n - k}$ , unde termenii se anulează în $f (1)$ , deci rădăcina evidentă este $x = 1$ în loc de $- 1$ .

De reținut

speța întâi: $a_{k} = a_{n - k}$
grad impar: $- 1$ este rădăcină
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$

Greșeala tipică

Se uită scăderea lui $2$ din formula care leagă cele două expresii: din $y = x + \frac{1}{x}$ rezultă $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ , nu $y^{2}$ . Refă ridicarea la pătrat de fiecare dată.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $C$ ecuația $3 x^{3} + 7 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ .
- a) ${- 1, \frac{- 2 + i 5}{3}, \frac{- 2 - i 5}{3}}$
- b) ${- 1, \frac{2 \pm i 5}{3}}$
- c) ${- 3, \frac{- 2 \pm i 5}{3}}$
- d) ${1, \frac{- 2 \pm i 5}{3}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${- 1, \frac{- 2 + i 5}{3}, \frac{- 2 - i 5}{3}}$

Ecuație reciprocă de grad impar, deci $x = - 1$ e rădăcină. Horner dă câtul $3 x^{2} + 4 x + 3$ , cu $Δ = 16 - 36 = - 20$ , deci $x = \frac{- 4 \pm 2 i 5}{6} = \frac{- 2 \pm i 5}{3}$ .
Rezolvați în $C$ ecuația $x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ .
- a) ${\frac{5 \pm 21}{2}, \frac{1 \pm 3}{2}}$
- b) ${\frac{5 \pm 21}{2}, \frac{1 \pm i 3}{2}}$
- c) ${5 \pm 21, 1 \pm i 3}$
- d) ${\frac{6 \pm 21}{2}, \frac{1 \pm i 3}{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${\frac{5 \pm 21}{2}, \frac{1 \pm i 3}{2}}$

Ecuație reciprocă; cu $y = x + \frac{1}{x}$ : $y^{2} - 6 y + 5 = 0$ , deci $y_{1} = 5$ , $y_{2} = 1$ . Din $x^{2} - 5 x + 1 = 0$ : $x = \frac{5 \pm 21}{2}$ . Din $x^{2} - x + 1 = 0$ ( $Δ = - 3$ ): $x = \frac{1 \pm i 3}{2}$ .
Ecuația $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ este reciprocă de speța a doua. Rezolvați-o în $R$ .
- a) ${1, \frac{7 \pm 33}{4}}$
- b) ${- 1, \frac{- 7 \pm 33}{4}}$
- c) ${1, \frac{- 7 + 33}{4}, \frac{- 7 - 33}{4}}$
- d) ${1, \frac{- 5 \pm 33}{4}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${1, \frac{- 7 + 33}{4}, \frac{- 7 - 33}{4}}$

Speța a doua, deci $x = 1$ e rădăcină ( $2 + 5 - 5 - 2 = 0$ ). Horner dă câtul $2 x^{2} + 7 x + 2$ , cu $Δ = 49 - 16 = 33$ , deci $x = \frac{- 7 \pm 33}{4}$ .

Întrebări conexe

Ce este o ecuație reciprocă de speța a doua?

Este cea la care coeficienții egal depărtați de capete sunt opuși, adică $a_{k} = - a_{n - k}$ . La ea termenii se anulează doi câte doi când înlocuiești necunoscuta cu $1$ , deci rădăcina care se vede din prima este $1$ , nu $- 1$ ca la speța întâi.

Ce substituție folosesc la ecuațiile reciproce de grad par?

Împarți întâi cu $x^{2}$ , apoi grupezi termenii simetrici și notezi $y = x + \frac{1}{x}$ . Din ridicarea la pătrat a acestei egalități rezultă $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ , iar ecuația de gradul al patrulea se transformă într-una de gradul al doilea în $y$ .

Ce ecuație rezolv după ce am aflat valorile lui $y$ ?

Pentru fiecare valoare găsită rezolvi $x^{2} - y_{k} x + 1 = 0$ . Din $y = 2$ iese $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , deci $x = 1$ dublă; din $y = 3$ iese $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ , cu rădăcinile $\frac{3 \pm 5}{2}$ . Abia acestea sunt soluțiile cerute.

De ce produsul rădăcinilor dintr-o pereche este $1$ ?

Pentru că fiecare pereche vine din ecuația $x^{2} - y_{k} x + 1 = 0$ , al cărei termen liber este $1$ , deci produsul rădăcinilor este $1$ . Rezultatul se potrivește cu proprietatea generală: dacă un număr anulează ecuația reciprocă, atunci și inversul lui o anulează.

Cum verific simetria coeficienților unei ecuații?

Compari primul coeficient cu ultimul, al doilea cu penultimul și tot așa spre mijloc, completând cu $0$ termenii lipsă. Dacă perechile coincid, ecuația este reciprocă de speța întâi; dacă ies opuse, este de speța a doua; altfel metoda nu se aplică.

La ce grad se poate coborî o ecuație reciprocă de gradul al șaselea?

La gradul al treilea în noua necunoscută. Împărțind cu $x^{3}$ și notând $y = x + \frac{1}{x}$ , folosești și $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = y^{3} - 3 y$ . Fiecare rădăcină $y_{k}$ se întoarce apoi într-o ecuație de gradul al doilea în $x$ .

Oamenii mai întreabă și: ecuații reciproce · cum rezolv o ecuație reciprocă de gradul patru · substituția x plus 1 pe x · ecuație cu coeficienți simetrici