Cum aflu x și y dintr-o egalitate cu i?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Egalitatea a două numere complexe

Aduci fiecare membru la forma $a + bi$ , apoi egalezi separat partea reală cu partea reală și partea imaginară cu partea imaginară. Obții astfel un sistem de două ecuații cu numere reale, pe care îl rezolvi obișnuit. De pildă, din $2 x - 1 + (y + 3) i = 5 - 2 i$ rezultă $2 x - 1 = 5$ și $y + 3 = - 2$ , deci $x = 3$ și $y = - 5$ . Procedeul funcționează numai dacă necunoscutele sunt reale.

Criteriul de egalitate: pentru $a, b, c, d$ reale, $a + bi = c + d i ⟺ a = c$ și $b = d$ . Demonstrația se sprijină pe un singur fapt: nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie $- 1$ — dacă $b \neq = d$ , ai putea izola $i$ ca un cât de numere reale, ceea ce l-ar face real, absurd.

Metoda identificării părților are trei pași: aduci fiecare membru la forma algebrică $a + bi$ ; identifici, egalând părțile reale între ele și cele imaginare între ele, obținând un sistem de două ecuații reale; rezolvi sistemul și verifici condițiile suplimentare. Trei consecințe imediate: $a + bi = 0 ⟺ a = 0$ și $b = 0$ (fără compensare între cele două părți); $z$ este real $⟺ Im (z) = 0$ (o singură condiție); $z$ este pur imaginar $⟺ Re (z) = 0$ și $Im (z) \neq = 0$ (două condiții — deosebirea cea mai punctată la barem).

Metoda funcționează numai dacă mărimile comparate sunt reale — de aceea enunțul precizează mereu « $x, y \in R$ »; fără această ipoteză, o egalitate de tipul $x + y i = 3 + 2 i$ ar avea o infinitate de soluții complexe.

De reținut

$a + bi = c + d i ⟺ a = c$ și $b = d$ , pentru $a, b, c, d$ reale
$a + bi = 0 ⟺ a = 0$ și $b = 0$
identificarea cere necunoscute reale

Greșeala tipică

Se compensează o parte cu cealaltă, ca și cum un rest din partea reală ar putea fi acoperit de partea imaginară. Cele două părți se egalează separat, fiindcă $i$ nu este număr real.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați $x, y \in R$ pentru care $(2 x - 1) + (y + 3) i = 5 - 2 i$ .
- a) $x = 3, y = - 5$
- b) $x = 2, y = 1$
- c) $x = 3, y = 5$
- d) $x = - 3, y = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 3, y = - 5$

Identificăm părțile: $2 x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$ ; $y + 3 = - 2 \Rightarrow y = - 5$ . Verificare: $(2 \cdot 3 - 1) + (- 5 + 3) i = 5 - 2 i$ ✓.
Determinați $x, y \in R$ pentru care $(x + y) + (x - y) i = 0$ .
- a) $x = 1, y = - 1$
- b) $x = 0, y = 0$
- c) orice $x = y$
- d) nu există soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 0, y = 0$

Un număr complex e nul $⟺$ ambele părți sunt nule: $x + y = 0$ și $x - y = 0$ . Adunând, $2 x = 0 \Rightarrow x = 0$ , apoi $y = 0$ .
Determinați $m \in R$ pentru care $z = (m - 3) + (m^{2} - 9) i$ este număr real.
- a) $m = - 3$
- b) $m = 3$
- c) $m \in {- 3, 3}$
- d) $m \in {- 9, 9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \in {- 3, 3}$

$z$ real $⟺ Im (z) = 0$ , adică $m^{2} - 9 = 0$ , deci $m \in {- 3, 3}$ . Este o singură condiție, deci ambele valori convin.

Întrebări conexe

Ce fac dacă un membru are i la puteri mai mari?

Îl aduci întâi la forma $a + bi$ , coborând puterile lui $i$ la ciclul de patru, și abia apoi egalezi părțile. Fără acest pas ai compara expresii care nu sunt încă scrise în forma cerută, iar sistemul obținut ar fi greșit de la început.

Ce valori au x și y dacă 2x minus 1, plus y plus 3, ori i, este 5 minus 2i?

Egalezi părțile reale: $2 x - 1 = 5$ , de unde $x = 3$ . Egalezi apoi părțile imaginare: $y + 3 = - 2$ , de unde $y = - 5$ . Verificarea în enunț confirmă, fiindcă $2 \cdot 3 - 1 = 5$ , iar $- 5 + 3 = - 2$ , adică exact numărul din membrul drept.

Ce valori au x și y dacă x plus y, plus x minus y, ori i, este 0?

Un număr complex este nul doar când amândouă părțile lui se anulează, fără compensare între ele. Obții $x + y = 0$ și $x - y = 0$ . Adunând ecuațiile rezultă $2 x = 0$ , deci $x = 0$ , iar apoi $y = 0$ .

Cât este x plus y dacă 2x plus y, plus x minus y, ori i, este 7 plus 2i?

Sistemul este $2 x + y = 7$ și $x - y = 2$ . Adunând cele două ecuații obții $3 x = 9$ , deci $x = 3$ , iar din a doua $y = 1$ . Suma cerută este $3 + 1 = 4$ , iar verificarea în enunț confirmă.

Pentru ce valoare a lui m este nul numărul m pătrat minus 4m plus 3, plus m pătrat minus 1, ori i?

Ceri ca amândouă părțile să se anuleze. Prima ecuație dă $m = 1$ sau $m = 3$ , a doua dă $m = - 1$ sau $m = 1$ . Doar valoarea comună celor două mulțimi convine, deci $m = 1$ .

De ce nu merge identificarea părților dacă necunoscutele pot fi complexe?

Pentru că scrierea $a + bi$ este determinată doar când $a$ și $b$ sunt reale. Dacă ar fi complexe, același număr s-ar putea scrie în mai multe feluri, iar egalarea pe bucăți ar da răspunsuri false. De aceea condiția se scrie mereu explicit.

Oamenii mai întreabă și: egalitatea a două numere complexe · identificarea părților reale și imaginare · când sunt egale două numere complexe · când este un număr complex egal cu zero · sistem obținut din numere complexe