Când sunt egale două polinoame?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Egalitatea a două polinoame

Egalitatea a două polinoame cere ca fiecare rang să aibă același coeficient în amândouă, rangurile care lipsesc fiind socotite cu coeficientul $0$ . Egalitatea nu se decide comparând valori: din $f (1) = g (1)$ nu rezultă nimic. De aici vine metoda identificării coeficienților: scrii ambii membri desfăcut, potrivești rangurile unul câte unul, rezolvi sistemul ieșit și verifici la final prin înlocuire. Astfel, $a X^{2} + 3 X = 5 X^{2} + b X$ dă imediat $a = 5$ și $b = 3$ .

Două polinoame sunt egale exact atunci când au aceiași coeficienți, rang cu rang (rangurile lipsă se consideră $0$ ). În particular, un polinom este nul dacă și numai dacă toți coeficienții lui sunt nuli — de aici se nasc sisteme de ecuații în probleme cu parametri, care trebuie satisfăcute simultan.

Metoda identificării coeficienților, în patru pași: aduci ambii membri la forma algebrică, egalezi coeficienții de același rang, rezolvi sistemul obținut, verifici prin înlocuire. Este unealta cea mai folosită din tot capitolul.

Deosebire esențială: o identitate polinomială (egalitate între polinoame, sau valabilă „pentru orice $X$ ”) se rezolvă prin identificare; o ecuație (valabilă doar pentru anumite valori) se rezolvă căutând acele valori — cele două tehnici nu se amestecă niciodată.

Când coeficienții sunt complecși, dar necunoscutele sunt reale, identificarea are două etaje: întâi rang cu rang, apoi (pe fiecare egalitate rezultată) parte reală cu parte reală și parte imaginară cu parte imaginară. Metoda se aplică și la rescrierea unui polinom după puterile lui $X - a$ , tehnică ce revine la schema lui Horner și la rădăcinile multiple.

De reținut

egale $⟺$ aceiași coeficienți rang cu rang
polinom nul $⟺$ toți coeficienții nuli
identitate: identifici; ecuație: cauți valorile

Greșeala tipică

Se compară valorile în loc de coeficienți: din $f (2) = g (2)$ se trage concluzia că polinoamele coincid. Oricâte puncte ai fixa dinainte, se găsesc polinoame distincte care iau acolo aceleași valori.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați $a, b, c \in C$ din $a X^{2} + (b - 3) X + c = 4 X^{2} + 5 X - 2$ .
- a) $a = 4, b = 8, c = - 2$
- b) $a = 4, b = 5, c = - 2$
- c) $a = 4, b = 8, c = 2$
- d) $a = - 4, b = 8, c = - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = 4, b = 8, c = - 2$

Rang $2$ : $a = 4$ . Rang $1$ : $b - 3 = 5 \Rightarrow b = 8$ . Rang $0$ : $c = - 2$ .
Pentru ce $m \in C$ este nul polinomul $f = (m^{2} - 9) X^{2} + (m - 3) X$ ?
- a) $- 3$
- b) $3$
- c) $3$ sau $- 3$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Cerem simultan $m^{2} - 9 = 0$ (deci $m \in {- 3, 3}$ ) și $m - 3 = 0$ (deci $m = 3$ ). Singura valoare comună este $m = 3$ .
Determinați $x, y \in R$ din $(x + y) X + (x - y) = 7 X + 3$ .
- a) $x = 7, y = 3$
- b) $x = 2, y = 5$
- c) $x = 5, y = 2$
- d) $x = 3, y = 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = 5, y = 2$

Din $x + y = 7$ și $x - y = 3$ , adunând obținem $2 x = 10$ , deci $x = 5$ și $y = 2$ .

Întrebări conexe

Cum rescriu un polinom după puterile lui $X - a$ ?

Scrii $f = c_{0} + c_{1} (X - a) + c_{2} (X - a)^{2} + \dots$ , desfaci parantezele și identifici coeficienții cu cei ai lui $f$ . Sistemul obținut se rezolvă de sus în jos. Aceleași numere $c_{k}$ ies mult mai repede din aplicări succesive ale schemei lui Horner cu valoarea $a$ .

Câte ecuații obțin dintr-o egalitate de polinoame de gradul al treilea?

Obții patru ecuații, câte una pentru fiecare rang de la $3$ până la $0$ , pentru că un polinom de gradul al treilea are patru coeficienți. Toate trebuie îndeplinite deodată; dacă necunoscutele sunt mai puține, sistemul poate fi incompatibil, iar egalitatea propusă este falsă.

Ce fac cu monoamele care lipsesc dintr-un membru al egalității?

Le tratezi ca având coeficientul $0$ și le pui în relație cu monoamele de același rang din partea cealaltă. Rangurile care nu se văd sunt tocmai cele sărite: dacă undeva lipsește termenul în $X^{2}$ , condiția corectă cere ca și coeficientul lui $X^{2}$ din celălalt membru să fie zero.

Cum determin doi parametri dintr-o identitate polinomială?

Scrii ambii membri în forma algebrică, egalezi coeficienții rang cu rang și obții un sistem cu cele două necunoscute. Rezolvi sistemul, apoi înlocuiești valorile găsite în identitatea inițială și verifici toate rangurile, nu doar pe cele folosite la rezolvare.

Unde greșesc dacă mă opresc la prima ecuație care se potrivește?

Un sistem cu mai multe ecuații decât necunoscute poate avea o ecuație adevărată și alta contrazisă. Oprirea prematură dă o valoare care nu satisface întreaga egalitate. Regula este să scrii toate condițiile și să le verifici pe toate înainte de a scrie concluzia.

Se poate ca o identitate polinomială să nu aibă nicio soluție?

Da. Dacă sistemul de coeficienți este incompatibil, nu există valori ale parametrilor pentru care cele două polinoame să coincidă. Răspunsul corect este atunci că egalitatea nu are loc pentru nicio valoare, însoțit de ecuațiile care se contrazic.

Oamenii mai întreabă și: egalitatea a două polinoame · identificarea coeficienților · când sunt egale două polinoame · metoda coeficienților nedeterminați