La aruncarea unui zar se dau $$A=\{2,4\}$$ și $$B=\{1,2,3,4,5\}$$. Care afirmație este corectă?

$$A$$ implică $$B$$, pentru că $$A\subseteq B$$

Nu există nicio relație de incluziune între ele

$$A$$ și $$B$$ sunt evenimente contrare

Ce este un eveniment elementar?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sigur, imposibil, elementar, compus

Un eveniment elementar conține un singur rezultat al experimentului, deci se scrie ca o mulțime cu un element. La aruncarea unui zar, „iese $4$ ” este elementar, iar numărul evenimentelor elementare este chiar numărul rezultatelor posibile, adică șase. Alături de el stau evenimentul sigur, egal cu toată mulțimea rezultatelor, și evenimentul imposibil, care nu are niciun caz favorabil. Un eveniment cu cel puțin două rezultate se numește compus.

Clasificarea evenimentelor urmează numărul de elemente al submulțimii din $Ω$ : evenimentul sigur $S = Ω$ se realizează întotdeauna; evenimentul imposibil $I = \emptyset$ are zero cazuri favorabile și nu se realizează niciodată; evenimentul elementar conține un singur rezultat, ${ω}$ , iar numărul evenimentelor elementare este exact $card (Ω)$ ; evenimentul compus conține cel puțin două rezultate. Orice eveniment se scrie, în mod unic, ca reuniune de evenimente elementare — numărul cazurilor favorabile este numărul „cărămizilor” din care e alcătuit.

Dacă $A \subseteq B$ , spunem că $A$ implică $B$ (realizarea lui $A$ atrage realizarea lui $B$ ), de unde $card (A) \leq card (B)$ ; pentru orice eveniment, $\emptyset \subseteq A \subseteq Ω$ . Cea mai importantă capcană de limbaj: „imposibil” înseamnă niciodată ( $0$ cazuri favorabile), nu „foarte rar” — câștigul la loto nu e imposibil, doar extrem de puțin probabil. A doua capcană: elementar înseamnă un singur rezultat, nu o singură condiție din enunț — „suma fețelor este $8$ ” la două zaruri pare o cerință simplă, dar are $5$ cazuri favorabile, deci este compus. Înainte de a pune eticheta, scrie mereu mulțimea și numără-i elementele; intuiția singură înșală des la acest capitol.

De reținut

elementar: un singur rezultat
sigur: toată mulțimea $Ω$ ; imposibil: mulțimea vidă
$A \subseteq B$ înseamnă că $A$ îl implică pe $B$

Greșeala tipică

Cuvântul „imposibil” este folosit pentru ceva doar foarte rar. Testul este strict: dacă evenimentul are măcar un caz favorabil, el nu este imposibil, oricât de mică ar fi șansa lui.

Exerciții din această mini-lecție

La aruncarea unui zar, evenimentul «a apărut un număr mai mic decât $1$ » este:
- a) Imposibil
- b) Elementar
- c) Sigur
- d) Compus
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Imposibil

Nicio față a zarului nu este mai mică decât $1$ , deci mulțimea rezultatelor care îl realizează este $\emptyset$ — evenimentul este imposibil, cu $0$ cazuri favorabile.
La aruncarea a două zaruri, evenimentul «suma fețelor este $12$ » este:
- a) Imposibil
- b) Elementar
- c) Compus
- d) Sigur
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Elementar

Suma $12$ se obține într-un singur fel: $(6, 6)$ . Evenimentul are un singur rezultat, deci este elementar — deși descrierea pare o condiție, nu contează numărul de condiții, ci numărul de rezultate.
La aruncarea unui zar se dau $A = {2, 4}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Care afirmație este corectă?
- a) Nu există nicio relație de incluziune între ele
- b) $B$ implică $A$
- c) $A$ implică $B$ , pentru că $A \subseteq B$
- d) $A$ și $B$ sunt evenimente contrare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A$ implică $B$ , pentru că $A \subseteq B$

${2, 4} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ , deci realizarea lui $A$ (a apărut $2$ sau $4$ ) atrage realizarea lui $B$ . Reciproca e falsă: elementul $1$ din $B$ nu e în $A$ .

Întrebări conexe

Ce este un eveniment compus?

Este un eveniment care se realizează prin cel puțin două rezultate diferite, deci mulțimea lui are mai multe elemente. La zar, „număr par” este compus, fiindcă îl realizează $2$ , $4$ și $6$ . Orice eveniment compus se scrie ca reuniune de evenimente elementare.

Câte evenimente elementare are un experiment aleator?

Exact atâtea câte rezultate posibile există, fiindcă fiecare rezultat dă o mulțime cu un element. La aruncarea a două monede sunt patru rezultate, deci patru evenimente elementare, deși numărul total de evenimente este $16$ .

Cum se scrie orice eveniment cu ajutorul celor elementare?

Ca reuniune a evenimentelor elementare formate din rezultatele lui, iar scrierea aceasta se poate face într-un singur fel. Numărul cazurilor favorabile este atunci numărul de bucăți din care e alcătuit evenimentul.

De ce „suma fețelor este $8$ ” nu este eveniment elementar?

Pentru că se realizează prin mai multe rezultate: $(2, 6)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ , $(5, 3)$ și $(6, 2)$ , adică cinci cazuri favorabile. Enunțul pare o cerință simplă, dar simplitatea condiției nu are legătură cu numărul de rezultate care o îndeplinesc.

Ce relație este între numărul cazurilor a două evenimente, dacă unul îl implică pe celălalt?

Dacă $A$ îl implică pe $B$ , atunci mulțimea lui $A$ este inclusă în cea a lui $B$ , deci $A$ are cel mult tot atâtea cazuri favorabile. Realizarea lui $A$ atrage automat realizarea lui $B$ , niciodată invers.

Ce evenimente conține orice experiment, oricare ar fi el?

Conține întotdeauna evenimentul imposibil, dat de mulțimea vidă, și evenimentul sigur, dat de mulțimea tuturor rezultatelor. Orice alt eveniment se află între ele, în sensul incluziunii, deci are între zero și $card (Ω)$ cazuri favorabile.

Oamenii mai întreabă și: eveniment elementar · eveniment sigur și eveniment imposibil · tipuri de evenimente la probabilități · ce înseamnă eveniment compus