La aruncarea unui zar, evenimentele «număr impar» și «multiplu de $$4$$» sunt:

Disjuncte, pentru că $$\{1,3,5\}\cap\{4\}=\varnothing$$

Nu sunt disjuncte, pentru că $$4$$ e par

Ce sunt evenimentele disjuncte?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Reuniune, intersecție, evenimente disjuncte

Două evenimente sunt disjuncte, adică incompatibile, atunci când nu se pot realiza în același timp: mulțimile lor nu au niciun rezultat comun, deci intersecția lor este vidă. Într-o diagramă Venn, cercurile lor stau despărțite. La zar, „iese $1$ ” și „iese număr par” sunt disjuncte. Când evenimentele sunt disjuncte, cazurile favorabile ale reuniunii se adună direct; altfel trebuie scăzut numărul cazurilor comune, numărate de două ori.

Reuniunea $A \cup B$ traduce „ $A$ sau $B$ ” (cel puțin unul) și intersecția $A \cap B$ traduce „ $A$ și $B$ ” (amândouă); în matematică „sau” este neexclusiv. Două evenimente sunt disjuncte (incompatibile) dacă $A \cap B = \emptyset$ , adică nu se pot realiza simultan — în diagrama Venn, cercurile lor nu se ating. Formula de numărare a reuniunii este $card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$ : se scade intersecția pentru că elementele ei au fost numărate de două ori; la evenimente disjuncte, termenul scăzut este zero, deci cazurile se adună direct.

O diagramă Venn are dreptunghiul $Ω$ și două cercuri, cu patru regiuni: doar $A$ , $A \cap B$ , doar $B$ , „nici, nici” — suma lor trebuie să dea $card (Ω)$ , cel mai bun control. Regula de completare: se pornește din intersecție, apoi se scade spre exterior. Capcană importantă: disjunct nu înseamnă contrar — evenimentele contrare sunt disjuncte și, în plus, reuniunea lor acoperă tot $Ω$ ( $A \cup \overline{A} = Ω$ ); două evenimente disjuncte pot lăsa rezultate neacoperite. La fel, disjunct nu înseamnă independent — sunt noțiuni complet diferite.

De reținut

disjuncte $⟺ A \cap B = \emptyset$
$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$
disjunct nu înseamnă nici contrar, nici independent

Greșeala tipică

Cazurile favorabile ale celor două evenimente sunt adunate fără să se scadă partea comună. Verifică întâi dacă evenimentele se pot realiza deodată; dacă da, rezultatele comune au fost numărate de două ori.

Exerciții din această mini-lecție

Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage una. $A$ =„carte neagră” și $B$ =„damă”. Câte cazuri favorabile are $A \cup B$ ?
- a) $28$
- b) $30$
- c) $26$
- d) $32$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $28$

$card (A) = 26$ (cărțile negre), $card (B) = 4$ (damele), iar intersecția este formată din cele $2$ dame negre. Deci $card (A \cup B) = 26 + 4 - 2 = 28$ .
La aruncarea unui zar, evenimentele «număr impar» și «multiplu de $4$ » sunt:
- a) Nu sunt disjuncte, pentru că $4$ e par
- b) Disjuncte, pentru că ${1, 3, 5} \cap {4} = \emptyset$
- c) Sunt evenimente contrare
- d) Sunt independente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Disjuncte, pentru că ${1, 3, 5} \cap {4} = \emptyset$

„Impar” $= {1, 3, 5}$ și „multiplu de $4$ ” $= {4}$ nu au niciun element comun, deci sunt disjuncte. Nu sunt contrare, pentru că reuniunea lor ${1, 3, 4, 5}$ nu acoperă tot $Ω$ (lipsesc $2$ și $6$ ).
Într-o clasă de $32$ de elevi, $20$ fac sport, $15$ fac muzică, iar $9$ fac amândouă. Câți elevi nu fac niciuna dintre cele două activități?
- a) $12$
- b) $9$
- c) $6$
- d) $26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Cel puțin o activitate: $20 + 15 - 9 = 26$ . Niciuna: $32 - 26 = 6$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă intersecția a două evenimente?

Este evenimentul care se realizează atunci când amândouă se realizează deodată, iar mulțimea lui conține rezultatele comune. Se notează $A \cap B$ și traduce cuvântul „și” din enunț: „carte roșie și figură” înseamnă tocmai această parte comună.

Câte regiuni are o diagramă Venn cu două cercuri?

Are patru: doar primul eveniment, partea comună, doar al doilea și zona din afara ambelor cercuri, dar înăuntrul dreptunghiului. Suma numerelor din cele patru regiuni trebuie să dea numărul tuturor rezultatelor posibile.

Cum verific o diagramă Venn completată?

Aduni numerele din toate cele patru regiuni și compari suma cu totalul din enunț. Dacă nu coincid, ai scris undeva un total în loc de o parte, cel mai des în zona comună, care apare deja în ambele cercuri.

Ce înseamnă zona „nici, nici” dintr-o diagramă Venn?

Este partea dreptunghiului rămasă în afara ambelor cercuri și adună rezultatele care nu realizează niciunul dintre evenimente. Numărul ei se obține scăzând din total câte rezultate se află în reuniune.

Cum se numără cazurile favorabile ale unei reuniuni?

Aduni cazurile fiecărui eveniment și scazi cazurile comune, fiindcă acestea au fost socotite de două ori. La un pachet de cărți, „inimă roșie sau as” are $13 + 4 - 1 = 16$ cazuri, nu $17$ : asul de inimă roșie apare în ambele grupe.

Cum arată cercurile a două evenimente incompatibile?

Se desenează despărțite, fără nicio zonă comună, fiindcă niciun rezultat nu le realizează pe amândouă. Dacă desenul le arată suprapuse, fie evenimentele nu sunt disjuncte, fie ai citit greșit condițiile din enunț.

Oamenii mai întreabă și: evenimente disjuncte · evenimente incompatibile · reuniune matematică · diagrame Venn la probabilități