Care este evenimentul contrar al lui «cel puțin trei elevi din grupă au luat notă peste $$9$$»?

Cel mult doi elevi au luat notă peste $$9$$.

Niciun elev nu a luat notă peste $$9$$.

Toți elevii au luat notă peste $$9$$.

Exact trei elevi au luat notă peste $$9$$.

Ce este evenimentul contrar?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Evenimentul contrar și complementara sa

Evenimentul contrar al lui $A$ se realizează tocmai în situațiile în care $A$ nu se realizează. Niciun rezultat nu le produce pe amândouă, iar între ele nu rămâne nimic pe dinafară, de unde $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ , adică $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ . Formula scurtează mult calculele la enunțurile cu „cel puțin unul”, al căror contrar este „niciunul”, un singur caz de numărat. Șansa ca măcar un $6$ să apară la două zaruri iese astfel $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

Evenimentul contrar $\overline{A}$ al unui eveniment $A$ se produce exact atunci când $A$ nu se produce; împreună acoperă tot spațiul ( $A \cup \overline{A} = Ω$ ) și nu se pot produce simultan ( $A \cap \overline{A} = \emptyset$ ). De aici, prin numărare, rezultă formula fundamentală

$P (A) + P (\overline{A}) = 1, adic \overset{a}{˘} P (\overline{A}) = 1 - P (A) .$

Cel mai rentabil folos al ei apare la enunțurile cu „cel puțin unul": contrariul lui este „niciunul", un singur caz de numărat, în loc de mai multe compoziții. Tiparul-cheie: $P (cel pu ț in unul) = 1 - P (niciunul)$ . La două zaruri, greșeala clasică $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ pentru „cel puțin un $6$ " numără de două ori perechea $(6, 6)$ ; corect, prin contrar, $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

Atenție la negare: contrariul lui „cel puțin doi" nu este „niciunul", ci „cel mult unul" (niciunul sau exact unul); contrariul lui „toate" este „cel puțin unul nu", nu „niciunul". Testul de siguranță: alege un caz concret și verifică dacă se potrivește cu exact unul dintre cele două evenimente. Proba finală, obligatorie: $P (A) + P (\overline{A})$ trebuie să dea mereu $1$ .

De reținut

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
cel puțin unul $= 1 -$ niciunul
negarea lui „toate” este „măcar unul nu”

Greșeala tipică

La „cel puțin un $6$ ” din două aruncări se adună $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ . Adunarea numără de două ori perechea cu două șesari; calculul corect trece prin evenimentul contrar și dă $\frac{11}{36}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se aruncă $4$ monede corecte. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o stemă?
- a) $\frac{15}{16}$
- b) $\frac{7}{8}$
- c) $\frac{1}{16}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{15}{16}$

Cazuri posibile: $2^{4} = 16$ . Contrariul «cel puțin o stemă» este «nicio stemă», adică toate patru monede arată pajură — un singur caz. Deci $P (nicio stem \overset{a}{˘}) = \frac{1}{16}$ , iar $P (cel pu ț in o stem \overset{a}{˘}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ .
O urnă conține $5$ bile galbene și $7$ bile portocalii. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca ea să nu fie galbenă?
- a) $\frac{5}{12}$
- b) $\frac{7}{12}$
- c) $\frac{5}{7}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{7}{12}$

Total bile: $5 + 7 = 12$ , deci $P (galben \overset{a}{˘}) = \frac{5}{12}$ . Evenimentul cerut este chiar contrarul: $P = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ — confirmat și direct, prin numărarea celor $7$ bile portocalii.
Care este evenimentul contrar al lui «cel puțin trei elevi din grupă au luat notă peste $9$ »?
- a) Niciun elev nu a luat notă peste $9$ .
- b) Cel mult doi elevi au luat notă peste $9$ .
- c) Toți elevii au luat notă peste $9$ .
- d) Exact trei elevi au luat notă peste $9$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Cel mult doi elevi au luat notă peste $9$ .

Contrariul lui «cel puțin trei» este «mai puțin de trei», adică «cel mult doi» ( $0$ , $1$ sau $2$ elevi). Varianta a) elimină greșit și cazurile «exact $1$ » și «exact $2$ », care nu se potrivesc nici cu evenimentul dat, nici cu propunerea a).

Întrebări conexe

Cum se notează evenimentul contrar?

Cu o bară deasupra literei, $\overline{A}$ , citit „non $A$ ” sau „contrarul lui $A$ ”. Uneori apare și notația cu complementară față de mulțimea rezultatelor, fiindcă evenimentul contrar este chiar complementara submulțimii $A$ în $Ω$ .

Ce reuniune formează un eveniment împreună cu contrarul lui?

Reuniunea lor este întreaga mulțime a rezultatelor, deci evenimentul sigur, iar intersecția este mulțimea vidă. Aceste două condiții deosebesc perechea de evenimente contrare de o simplă pereche de evenimente disjuncte, care poate lăsa rezultate neacoperite.

Care este contrariul evenimentului „toate”?

Este „cel puțin unul nu”, nu „niciunul”. Dacă evenimentul spune că toate cele cinci piese sunt bune, contrarul lui se produce de îndată ce apare o piesă defectă, indiferent câte sunt bune. Negarea unui „toate” slăbește condiția, nu o răstoarnă complet.

De ce $P (\overline{A})$ nu este $\frac{1}{P ( A )}$ ?

Pentru că relația corectă este o scădere din $1$ , nu o inversare. Controlul se face imediat: la $P (A) = 0, 5$ , inversul ar da $2$ , valoare imposibilă pentru o probabilitate. Contrarul unui eveniment cu șansă mare are, firesc, șansă mică.

Cum calculez probabilitatea ca niciunul dintre trei să nu apară?

Înmulțești probabilitățile ca fiecare să nu apară, dacă evenimentele sunt independente. La trei aruncări de zar, probabilitatea de a nu obține niciun $6$ este $(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}$ , deci „cel puțin un $6$ ” are probabilitatea $\frac{91}{216}$ .

Sunt un eveniment și contrarul lui disjuncte?

Da, fiindcă nu se pot realiza în același timp. În plus, reuniunea lor acoperă toate rezultatele, ceea ce nu se cere la o pereche oarecare de evenimente disjuncte. Perechea contrară este deci un caz particular, mai strâns, de evenimente incompatibile.

Oamenii mai întreabă și: evenimentul contrar · probabilitatea evenimentului contrar · cel puțin unul probabilitate · formula 1 minus P de A