La aruncarea a două monede (prima și a doua), mulțimea rezultatelor posibile are:

$$4$$ elemente: $$SS, SB, BS, BB$$

$$3$$ elemente, pentru că sunt trei situații posibile: zero, una sau două steme

Ce este un experiment aleator?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Experiment aleator, $Ω$ și evenimente

Numim experiment aleator o încercare care se repetă în condiții identice, al cărei rezultat nu poate fi prezis, dar ale cărei rezultate posibile se cunosc dinainte. Mulțimea lor se notează $Ω$ , iar numărul elementelor ei dă cazurile posibile. Aruncarea unui zar are $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , deci șase cazuri posibile. Orice submulțime a lui $Ω$ este un eveniment, iar elementele ei sunt cazurile favorabile acelui eveniment.

Un experiment aleator se poate repeta în aceleași condiții, are un rezultat imprevizibil, dar mulțimea rezultatelor posibile este cunoscută dinainte. Aceasta se notează $Ω$ (mulțimea rezultatelor posibile), iar numărul ei de elemente, $card (Ω)$ , este numărul cazurilor posibile. Un eveniment legat de experiment este orice submulțime $A \subseteq Ω$ ; el se realizează dacă rezultatul obținut aparține lui $A$ , iar elementele lui $A$ sunt cazurile favorabile, în număr de $card (A)$ .

Traducerea unei propoziții din limbaj obișnuit într-o submulțime a lui $Ω$ este ideea centrală a capitolului: „cel puțin $5$ ” înseamnă $5$ sau mai mult, „cel mult $2$ ” înseamnă $2$ sau mai puțin. La experimente cu mai multe etape (două monede, două zaruri, o urnă cu bile), rezultatele trebuie scrise numerotând sau deosebind obiectele identice — altfel $Ω$ minte: la două monede sunt $4$ rezultate ( $S S, S B, B S, B B$ ), nu $3$ , pentru că „o stemă” se obține în două feluri diferite. Un rezultat poate realiza simultan mai multe evenimente. Dacă $card (Ω) = n$ , experimentul generează exact $2^{n}$ evenimente (câte submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente), printre care mulțimea vidă și $Ω$ însuși.

De reținut

$Ω$ : mulțimea rezultatelor posibile
eveniment: orice submulțime a lui $Ω$
cu $card (Ω) = n$ există $2^{n}$ evenimente

Greșeala tipică

Rezultatele sunt grupate pe categorii și numărate greșit: la două monede se scriu trei situații, în loc de patru. Fiecare rezultat trebuie să poată fi obținut într-un singur fel, altfel mulțimea nu descrie corect experimentul.

Exerciții din această mini-lecție

Se aruncă un zar, cu $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Câte cazuri favorabile are evenimentul «a apărut un număr care nu este multiplu de $3$ »?
- a) $4$
- b) $2$
- c) $3$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Numerele care nu sunt multiplu de $3$ dintre $1$ și $6$ sunt ${1, 2, 4, 5}$ , adică $4$ cazuri favorabile din $6$ posibile.
La aruncarea a două monede (prima și a doua), mulțimea rezultatelor posibile are:
- a) $3$ elemente, pentru că sunt trei situații posibile: zero, una sau două steme
- b) $4$ elemente: $S S, S B, B S, B B$
- c) $2$ elemente
- d) $6$ elemente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$ elemente: $S S, S B, B S, B B$

Rezultatul e o pereche ordonată (prima monedă, a doua monedă), deci $Ω = {S S, S B, B S, B B}$ . Lista cu trei situații pierde informație: „o stemă” se obține în două feluri ( $S B$ și $B S$ ), pe când „două steme” într-unul singur.
O urnă conține $4$ bile roșii și $3$ bile albastre. Se extrage o bilă. Câte cazuri favorabile are evenimentul «bila este roșie»?
- a) $1$ din $2$
- b) $3$ din $7$
- c) $4$ din $7$
- d) $4$ din $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$ din $7$

Numerotând bilele, $card (Ω) = 4 + 3 = 7$ . Evenimentul «bila este roșie» are $4$ cazuri favorabile — câte bile roșii sunt în urnă.

Întrebări conexe

Cum scriu ca mulțime condiția „cel puțin $5$ ”?

Iei toate rezultatele care sunt egale cu $5$ sau mai mari. La un zar, evenimentul devine ${5, 6}$ , deci are două cazuri favorabile. Cuvintele „cel puțin” includ valoarea numită, spre deosebire de „mai mare decât”, care o lasă afară.

Cum se notează numărul cazurilor posibile?

Se scrie $card (Ω)$ și înseamnă câte elemente are mulțimea rezultatelor. Pentru un eveniment $A$ , numărul cazurilor favorabile este $card (A)$ . Raportul dintre cele două numere va da mai târziu probabilitatea evenimentului.

Poate un rezultat să realizeze două evenimente deodată?

Da, dacă aparține ambelor submulțimi. La zar, rezultatul $6$ realizează și evenimentul „număr par”, și evenimentul „cel puțin $5$ ”. De aceea evenimentele se pot intersecta, iar la numărarea reuniunii intersecția trebuie scăzută.

Cum scriu mulțimea rezultatelor la aruncarea a două zaruri?

Ca perechi ordonate, prima cifră pentru primul zar, a doua pentru al doilea: $(1, 1)$ , $(1, 2)$ și așa mai departe. Ies $36$ de rezultate, fiindcă fiecare valoare a primului zar se combină cu toate cele șase ale celui de-al doilea.

Ce înseamnă că un eveniment s-a realizat?

Înseamnă că rezultatul obținut la experiment se află în submulțimea care descrie evenimentul. Dacă la zar iese $4$ , evenimentul „număr par” s-a realizat, iar „cel puțin $5$ ” nu. Verificarea este o simplă apartenență la mulțime.

Ce diferență este între „cel mult $2$ ” și „mai puțin de $2$ ”?

Prima expresie include valoarea $2$ , deci la un zar dă mulțimea ${1, 2}$ ; a doua o exclude și dă ${1}$ . Subliniază aceste cuvinte în enunț înainte de a scrie mulțimea, fiindcă schimbă numărul cazurilor favorabile.

Oamenii mai întreabă și: experiment aleator · ce este un experiment aleator · mulțimea rezultatelor posibile · cazuri posibile la un experiment