Cum se calculează factorialul unui număr?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Factorialul unui număr natural

Înmulțești toate numerele naturale de la $1$ până la numărul dat: $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ . Astfel $4! = 24$ , $5! = 120$ și $7! = 5040$ . Prin convenție $0! = 1$ , ceea ce se potrivește cu relația $n! = n \cdot (n - 1)!$ pusă pentru $n = 1$ . Valorile cresc foarte repede, așa că factorialele mari nu se calculează niciodată: la rapoarte, scrii produsul de sus până unde începe cel de jos și reduci ce se repetă, cum se vede în $\frac{9 !}{7 !} = 9 \cdot 8 = 72$ .

Factorialul lui $n$ (notat $n!$ , cu $n \geq 1$ ) este produsul tuturor numerelor naturale de la $1$ la $n$ : $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ . Prin convenție, $0! = 1$ — nu e o toană, ci consecința formulei de recurență $n! = n \cdot (n - 1)!$ , care trebuie să funcționeze și pentru $n = 1$ : $1! = 1 \cdot 0!$ obligă $0! = 1$ . Valorile de reținut: $1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320$ pentru $n = 0, \dots, 8$ .

Factorialul crește exploziv, mai repede decât orice putere — de aceea nu calculezi niciodată factorialele mari. Rapoartele de factoriale se simplifică desfăcând factorialul mai mare până la cel mic: $\frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , un produs cu exact $k$ factori. Greșeala clasică: $\frac{10 !}{5 !} \neq = 2!$ — factorialul nu se «simplifică» ca un factor obișnuit.

La ecuații cu factoriale: pui condiția ca argumentele să fie numere naturale, exprimi totul prin cel mai mic factorial, simplifici (el e nenul) și rezolvi ecuația algebrică rămasă, apoi respingi soluțiile care nu sunt naturale.

De reținut

$n! = 1 \cdot 2 \dots n$ , cu $0! = 1$
$n! = n \cdot (n - 1)!$
$\frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , cu $k$ factori

Greșeala tipică

Se simplifică raportul de factoriale ca pe unul de numere obișnuite, scriind $\frac{10 !}{5 !} = 2!$ . Semnul de factorial nu se poate reduce; se desface întâi produsul de sus până la cel de jos.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $0! + 1! + 2! + 3!$ .
- a) $10$
- b) $9$
- c) $6$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$

$0! = 1$ , $1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ . Suma: $1 + 1 + 2 + 6 = 10$ .
Calculați $\frac{9 !}{7 !}$ .
- a) $2$
- b) $72$
- c) $9$
- d) $362880$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $72$

$\frac{9 !}{7 !} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 !}{7 !} = 9 \cdot 8 = 72$ . Fără să calculezi vreun factorial întreg.
Simplificați $\frac{( n + 3 )!}{( n + 1 )!}$ , pentru $n \in N$ .
- a) $(n + 1) (n + 2) (n + 3)$
- b) $n + 2$
- c) $(n + 2) (n + 3)$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(n + 2) (n + 3)$

$\frac{( n + 3 )!}{( n + 1 )!} = \frac{( n + 3 ) ( n + 2 ) \cdot ( n + 1 )!}{( n + 1 )!} = (n + 2) (n + 3)$ — exact $2$ factori, pentru că diferența indicilor este $2$ .

Întrebări conexe

Cât face suma 0 factorial plus 1 factorial plus 2 factorial plus 3 factorial?

Iei valorile pe rând: $0! = 1$ prin convenție, $1! = 1$ , $2! = 2$ și $3! = 6$ . Adunându-le obții $1 + 1 + 2 + 6 = 10$ . Cea mai frecventă greșeală aici este să pui zero în loc de $1$ pentru primul termen, ceea ce ar da un rezultat mai mic cu o unitate.

Cât face raportul dintre 9 factorial și 7 factorial?

Desfaci numărătorul până la numitor: $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7!$ . Fracția se simplifică prin $7!$ și rămâne $9 \cdot 8 = 72$ . Nu ai calculat niciun factorial întreg, deși $9!$ trece de trei sute de mii, iar procedeul merge la orice pereche de indici apropiați.

Cum simplific raportul dintre n plus 3 factorial și n plus 1 factorial?

Scrii numărătorul ca $(n + 3) (n + 2) \cdot (n + 1)!$ , apoi reduci cu numitorul. Rămâne produsul $(n + 2) (n + 3)$ , adică exact doi factori, fiindcă diferența indicilor este $2$ . Regula generală: câți pași sunt între cei doi indici, atâția factori rămân.

Ce soluție are ecuația n factorial împărțit la n minus 2 factorial, egal 56?

Condiția cere $n \geq 2$ . Raportul se simplifică la $n (n - 1)$ , deci $n^{2} - n - 56 = 0$ , cu discriminantul $225$ . Rădăcinile sunt $8$ și $- 7$ , iar cea negativă se respinge, nefiind număr natural. Verificare: $8 \cdot 7$ chiar face $56$ .

Este adevărat că 4 factorial plus 3 factorial dă 7 factorial?

Nu. Suma este $24 + 6 = 30$ , în timp ce $7! = 5040$ . Factorialul nu se comportă nici ca o adunare, nici ca o înmulțire simplă: din $a + b = c$ nu rezultă nimic despre $a!$ , $b!$ și $c!$ . Fiecare factorial se calculează separat.

Câți factori are produsul din raportul n factorial supra n minus k factorial?

Exact $k$ factori, care coboară din $n$ până la $n - k + 1$ . Formula scrisă desfășurat este $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ . Numărarea lor este verificarea cea mai rapidă: dacă ai scris mai mulți sau mai puțini, expresia nu mai corespunde raportului de la care ai pornit.

Oamenii mai întreabă și: ce este factorialul · cât face n factorial · de ce 0 factorial este 1 · simplificarea rapoartelor de factoriale · tabelul factorialelor