Care e partea reală și partea imaginară?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Forma algebrică a unui număr complex

Orice număr complex se scrie $z = a + bi$ , cu $a$ și $b$ numere reale. Atunci $a$ se numește partea reală, iar $b$ partea imaginară; amândouă sunt numere reale, iar partea imaginară este chiar $b$ , nu $bi$ . Pentru $z = 6 - 9 i$ ai partea reală $6$ și partea imaginară $- 9$ . Numărul este real când partea imaginară se anulează și este pur imaginar când partea reală se anulează, iar cea imaginară nu.

Forma algebrică: orice număr complex se scrie $z = a + bi$ , cu $a, b \in R$ și $i^{2} = - 1$ ; mulțimea lor este $C = {a + bi ∣ a, b \in R}$ . Scrierea este unică — dacă $a + bi = c + d i$ cu toate patru reale, atunci $a = c$ și $b = d$ , pentru că altfel $i$ ar ieși egal cu un cât de numere reale, adică ar fi real, ceea ce e imposibil.

Datorită unicității, definim fără ambiguitate: $Re (z) = a$ (partea reală) și $Im (z) = b$ (partea imaginară) — ambele sunt numere reale; partea imaginară este $b$ , niciodată $bi$ . Un număr e real $⟺ Im (z) = 0$ (o singură condiție); e pur imaginar $⟺ Re (z) = 0$ și $Im (z) \neq = 0$ (două condiții — numărul $0$ este real, nu pur imaginar, pentru că are ambele părți nule).

«A aduce la forma algebrică» înseamnă a înlocui $i^{2}$ cu $- 1$ ori de câte ori apare și a scrie $- k = i k$ , apoi a grupa termenii — o expresie ca $3 + 2 i^{2}$ arată complex, dar este de fapt numărul real $1$ . Când împarți la un număr real, împarți fiecare dintre cele două părți.

De reținut

$z = a + bi$ , cu $Re (z) = a$ și $Im (z) = b$
$z$ real $⟺ Im (z) = 0$
$z$ pur imaginar $⟺ Re (z) = 0$ și $Im (z) \neq = 0$

Greșeala tipică

Se scrie partea imaginară cu tot cu $i$ , adică $- 9 i$ în loc de $- 9$ . Amândouă părțile unui număr complex sunt numere reale, iar $i$ rămâne în afara lor.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați $Im (z)$ pentru $z = 6 - 9 i$ .
- a) $- 9$
- b) $9$
- c) $- 9 i$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 9$

Partea imaginară este numărul real care înmulțește $i$ , cu semn: $Im (6 - 9 i) = - 9$ , nu $- 9 i$ .
Aduceți la forma algebrică $5 + 3 i^{2}$ .
- a) $8$
- b) $2$
- c) $5 + 3 i$
- d) $2 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

Înlocuim $i^{2} = - 1$ : $5 + 3 \cdot (- 1) = 5 - 3 = 2$ — deși arată complex, este numărul real $2$ .
Determinați $m \in R$ astfel încât $z = (m - 4) + (m^{2} - 16) i$ să fie număr real.
- a) $m = - 4$
- b) $m = 4$
- c) $m \in {- 4, 4}$
- d) $m \in {- 16, 16}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \in {- 4, 4}$

$z$ este real $⟺ Im (z) = 0$ , adică $m^{2} - 16 = 0$ , deci $m \in {- 4, 4}$ . Pentru $m = 4$ : $z = 0$ ; pentru $m = - 4$ : $z = - 8$ — ambele sunt reale, deci ambele valori convin.

Întrebări conexe

Cum se scrie mulțimea numerelor complexe?

Ca familia tuturor expresiilor de forma $a + bi$ , cu $a$ și $b$ numere reale: $C = {a + bi ∣ a, b \in R}$ . Numerele reale se regăsesc înăuntru, ca acelea cu partea imaginară nulă, deci mulțimea $R$ este cuprinsă în $C$ .

Ce fac cu puterile mai mari ale lui i când aduc la forma algebrică?

Le cobori la ciclul de patru: $i^{3} = - i$ și $i^{4} = 1$ , apoi înlocuiești. Într-o expresie ca $2 i^{3} + 5 i^{4}$ obții $- 2 i + 5$ , adică $5 - 2 i$ . Pasul se repetă până când nu mai rămâne nicio putere a lui $i$ mai mare decât unu.

Pentru ce valori ale lui m este real numărul m minus 4, plus m pătrat minus 16, ori i?

Ceri ca partea imaginară să se anuleze: $m^{2} - 16 = 0$ , deci $m = 4$ sau $m = - 4$ . Amândouă convin: pentru $m = 4$ obții $z = 0$ , iar pentru $m = - 4$ obții $z = - 8$ , iar zero este și el număr real.

Pentru ce valoare a lui m este pur imaginar numărul m pătrat minus 25, plus m minus 5, ori i?

Sunt două condiții: partea reală nulă, $m^{2} - 25 = 0$ , deci $m = \pm 5$ , și partea imaginară nenulă, $m - 5 \neq = 0$ , care scoate valoarea $5$ . Rămâne $m = - 5$ , pentru care numărul devine $- 10 i$ .

De ce partea imaginară este b, și nu b ori i?

Pentru că definiția cere ca amândouă părțile să fie numere reale, ca să se poată pune condiții asupra lor. Dacă partea imaginară ar include pe $i$ , ea nu ar mai fi un număr real și nu ai putea scrie ecuații ca $Im (z) = 0$ .

Cât este suma părților lui 4 minus 3 ori i la pătrat, plus 6i?

Înlocuiești $i^{2}$ cu $- 1$ : expresia devine $4 + 3 + 6 i = 7 + 6 i$ . Partea reală este $7$ , partea imaginară este $6$ , deci suma cerută este $13$ . Pasul cheie rămâne înlocuirea lui $i^{2}$ înainte de orice grupare.

Oamenii mai întreabă și: forma algebrică a unui număr complex · partea reală și partea imaginară · care este partea imaginară a lui 3 minus 5i · când este un număr complex real · ce înseamnă pur imaginar