Numărul $$-4\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$$ nu este scris sub formă trigonometrică standard. Care este forma corectă (modul pozitiv, argument redus)?

$$4\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)$$

$$4\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$$

$$4\left(\cos\dfrac{11\pi}{6}+i\sin\dfrac{11\pi}{6}\right)$$

$$-4\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)$$

Ce este argumentul unui număr complex?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Forma trigonometrică: modul, argument

Este unghiul făcut de semidreapta care duce din origine la imaginea numărului cu partea pozitivă a axei orizontale, măsurat în sens trigonometric. Împreună cu modulul, el determină complet numărul: $z = r (cos φ + i sin φ)$ , unde $r = ∣ z ∣ > 0$ . Fiindcă o rotație completă nu schimbă poziția, argumentele diferă între ele prin multipli de $2 π$ ; cel luat în intervalul de la $0$ la $2 π$ se numește argument redus. Numărul zero nu are argument.

Orice număr complex nenul $z = a + bi$ se scrie unic sub forma trigonometrică $z = r (cos φ + i sin φ)$ , unde $r = ∣ z ∣ > 0$ este modulul, iar $φ = ar g z$ este argumentul redus, luat întotdeauna în $[0, 2 π)$ . Legăturile dintre forme: $a = r cos φ$ , $b = r sin φ$ .

Un număr complex nenul are o infinitate de argumente, care diferă între ele prin multipli de $2 π$ ; argumentul redus este reprezentantul unic din $[0, 2 π)$ . Numărul $0$ nu are argument — imaginea lui e originea, prin care trec toate direcțiile.

Cadranul restrânge argumentul la un interval de lungime $\frac{π}{2}$ și trebuie stabilit înainte de a citi argumentul din tabelul valorilor remarcabile: cadranul I dă $φ \in (0, \frac{π}{2})$ , II dă $(\frac{π}{2}, π)$ , III dă $(π, \frac{3 π}{2})$ , IV dă $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$ . Pe axe: $0$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ .

O scriere nu este formă trigonometrică dacă modulul din față e negativ sau dacă apare minus între cosinus și sinus — ambele situații se corectează, prima adunând $π$ la argument, a doua înlocuind $φ$ cu $2 π - φ$ .

O scurtătură utilă: numerele situate pe axe au argumentele $0$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ , corespunzătoare semiaxelor pozitivă $O x$ , pozitivă $O y$ , negativă $O x$ , negativă $O y$ . Din tabelul valorilor remarcabile, argumentele care apar cel mai des la clasă sunt multipli de $\frac{π}{6}$ sau de $\frac{π}{4}$ ; recunoașterea rapidă a perechii $(cos φ, sin φ)$ economisește timp prețios la examen.

De reținut

$z = r (cos φ + i sin φ)$ , cu $r > 0$
argument redus: $φ \in [0, 2 π)$
$a = r cos φ$ , $b = r sin φ$

Greșeala tipică

Se lasă un număr negativ în fața parantezei și se numește tot formă trigonometrică. Modulul trebuie să fie strict pozitiv, iar semnul minus se mută în argument, adunând $π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câte argumente diferite (nu neapărat reduse) poate avea un număr complex nenul $z$ ?
- a) o infinitate
- b) exact unul
- c) exact doi
- d) niciunul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) o infinitate

Orice $φ + 2 k π$ , cu $k \in Z$ , este un argument valid al lui $z$ ; dintre toate acestea, unul singur, cel din $[0, 2 π)$ , este argumentul redus.
Numărul $- 4 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ nu este scris sub formă trigonometrică standard. Care este forma corectă (modul pozitiv, argument redus)?
- a) $4 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$
- b) $4 (cos \frac{7 π}{6} + i sin \frac{7 π}{6})$
- c) $4 (cos \frac{11 π}{6} + i sin \frac{11 π}{6})$
- d) $- 4 (cos \frac{7 π}{6} + i sin \frac{7 π}{6})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 (cos \frac{7 π}{6} + i sin \frac{7 π}{6})$

Modulul negativ se corectează folosind $- 1 = cos π + i sin π$ , adică adunând $π$ la argument: $\frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}$ , cu modulul devenit $4$ .
În ce cadran se află imaginea unui număr complex cu $∣ z ∣ = 5$ și argument redus $φ = \frac{5 π}{4}$ ?
- a) cadranul II
- b) cadranul I
- c) cadranul III
- d) cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cadranul III

$\frac{5 π}{4}$ se află între $π$ și $\frac{3 π}{2}$ , intervalul specific cadranului III.

Întrebări conexe

De ce se cere ca numărul să fie nenul când vorbim de argument?

Fiindcă zeroul stă chiar în origine și nu arată nicio direcție: orice unghi i s-ar potrivi la fel de bine. De aceea modulul trebuie să fie strict pozitiv în forma trigonometrică, iar numărul zero rămâne singurul care nu se poate scrie astfel.

Cum corectez o scriere cu modul negativ în fața parantezei trigonometrice?

Folosești faptul că $- 1 = cos π + i sin π$ , deci semnul minus se transformă într-o rotație cu $π$ . Pentru $- 4 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ aduni $π$ la argument și obții modulul $4$ cu argumentul $\frac{7 π}{6}$ .

Ce argument au numerele așezate chiar pe axe?

Un număr real pozitiv are argumentul $0$ , iar unul negativ are $π$ . Pe axa verticală, numerele cu partea imaginară pozitivă au $\frac{π}{2}$ , iar cele cu partea imaginară negativă au $\frac{3 π}{2}$ . Sunt cele patru valori pe care merită să le știi pe de rost.

Care este argumentul redus, în grade, al numărului minus 7i?

Imaginea lui cade pe partea negativă a axei verticale, deci direcția este cea care privește în jos. Argumentul redus este $\frac{3 π}{2}$ , adică $270$ de grade. Modulul lui este $7$ , fiindcă partea reală se anulează.

Cât este modulul numărului minus 8 plus 6i?

Aduni pătratele părților, $64 + 36 = 100$ , apoi extragi radicalul și obții $10$ . Semnele nu contează, fiindcă intră la pătrat. Cu modulul aflat, cosinusul argumentului este $- 0, 8$ , iar sinusul lui este $0, 6$ .

Ce legături există între părțile unui număr, modulul și argumentul lui?

Sunt cele două formule de trecere: $a = r cos φ$ și $b = r sin φ$ . Din ele se obțin, în sens invers, $cos φ = \frac{a}{r}$ și $sin φ = \frac{b}{r}$ . Perechea celor două valori determină argumentul fără nicio nesiguranță, spre deosebire de tangentă.

Oamenii mai întreabă și: argumentul unui număr complex · forma trigonometrică a unui număr complex · ce este argumentul redus · modul și argument · are zero argument