Cum schimb baza unui logaritm?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Formula de schimbare a bazei

Îl scrii ca raport de doi logaritmi în noua bază: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ , cu $c$ ales de tine, pozitiv și diferit de $1$ . Argumentul urcă la numărător, baza coboară la numitor. Astfel $lo g_{9} 27 = \frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 9} = \frac{3}{2}$ . Pe un instrument digital alegi $c = 10$ sau numărul $e$ , deci $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a}$ . Verificarea rapidă: pentru $b = a$ ambii membri dau $1$ .

Formula de schimbare a bazei spune că toți logaritmii sunt, în esență, «același logaritm»: pentru $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .$ Argumentul stă sus, baza jos — verificarea rapidă e $b = a$ , care dă $1 = 1$ în ambii membri.

Din formulă decurg trei consecințe pe care le folosești mereu. Luând $c = b$ : $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , valabilă doar dacă și $b \neq = 1$ (altfel $lo g_{b} a$ nici nu există). Luând $c = a$ : $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ — exponentul bazei coboară la numitor, nu se înmulțește. Și, «veriga din mijloc se simplifică»: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ , de unde produsele lungi de tipul $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 8$ se calculează dintr-o privire, fără nicio valoare numerică intermediară.

Pe calculator, orice logaritm se obține din $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{ln b}{ln a}$ — rezultatul nu depinde de tasta aleasă, pentru că factorul de conversie se simplifică. Cu $l g 2 \approx 0, 3010$ , formula răspunde și la întrebări practice, precum câte cifre are un număr uriaș.

De reținut

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$
$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , cu $b \neq = 1$
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$

Greșeala tipică

Se scrie raportul a doi logaritmi ca logaritm al câtului. Fracția $\frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ înseamnă $lo g_{a} b$ , în timp ce diferența $lo g_{c} b - lo g_{c} a$ înseamnă cu totul altceva.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $lo g_{9} 27$ .
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $\frac{2}{3}$
- c) $3$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{2}$

Aducem la baza $3$ : $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ , deci $lo g_{9} 27 = \frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 9} = \frac{3}{2}$ . Verificare: $9^{3/2} = (3^{2})^{3/2} = 3^{3} = 27$ ✓.
Pentru $a, b > 0$ , $a \neq = 1$ , $b \neq = 1$ , produsul $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a$ este întotdeauna egal cu:
- a) $0$
- b) $1$
- c) $ab$
- d) $lo g_{a} a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1$

Din formula de schimbare a bazei cu $c = b$ rezultă $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , deci $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ . Condiția $b \neq = 1$ este esențială — fără ea, $lo g_{b} a$ nici nu are sens.
Calculați $lo g_{1/2} 8$ .
- a) $- \frac{1}{8}$
- b) $3$
- c) $- 3$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 3$

Cu $lo g_{1/ a} b = - lo g_{a} b$ : $lo g_{1/2} 8 = - lo g_{2} 8 = - 3$ . Verificare: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ ✓.

Întrebări conexe

Ce bază aleg când folosesc formula de schimbare?

Oricare, atâta timp cât este pozitivă și diferită de $1$ ; rezultatul nu depinde de alegere. La calcule cu numere frumoase iei baza comună a argumentului și a bazei inițiale, iar la un instrument digital iei $10$ sau numărul $e$ , singurele două taste existente.

De ce rezultatul nu depinde de baza aleasă la schimbare?

Fiindcă raportul dintre cei doi logaritmi noi rămâne același, oricare ar fi baza intermediară. Trecând prin baza zece sau prin cea naturală obții aceeași valoare, deci alegerea se face după ce ai la îndemână pe calculator.

Cum scriu un logaritm cu bază subunitară folosind o bază supraunitară?

Îl transformi cu formula de schimbare și obții același logaritm cu semnul schimbat, fiindcă logaritmul unei baze subunitare este negativ. De aceea inegalitățile își întorc sensul atunci când baza coboară sub $1$ .

La ce folosește schimbarea bazei într-o ecuație cu logaritmi diferiți?

Aduce toți termenii la aceeași bază, ca ecuația să poată fi rezolvată cu o singură necunoscută. Fără pasul acesta, cei doi logaritmi nu se pot combina, fiindcă proprietățile cer o bază comună.

Cum trec de la lg la ln și invers?

Cele două sunt proporționale: $l g x = \frac{ln x}{ln 10}$ , iar $ln x = \frac{l g x}{l g e}$ . Raportul dintre ele rămâne același pentru orice argument, aproximativ $2, 303$ . De aceea graficele lor au aceeași formă, unul fiind celălalt întins pe verticală.

Ce condiție suplimentară cere formula inversului unui logaritm?

Egalitatea $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ cere ca și $b$ să fie diferit de $1$ , pe lângă condițiile obișnuite. Altfel $lo g_{b} a$ nici nu ar exista, iar fracția din dreapta nu ar avea sens.

Oamenii mai întreabă și: formula de schimbare a bazei · cum calculez un logaritm în altă bază · logaritm în baza 2 la calculator · produs de logaritmi care se simplifică · legătura dintre lg și ln