Cum ridic un număr complex la o putere mare?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Formula lui Moivre

Îl scrii sub formă trigonometrică și aplici formula lui Moivre: $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ . Modulul se ridică la putere, iar argumentul se înmulțește cu exponentul, după care se readuce în intervalul de la $0$ la $2 π$ . Astfel $(1 + i)^{12}$ are modulul $(2)^{12} = 64$ și argumentul $12 \cdot 4 5^{\circ} = 54 0^{\circ}$ , redus la $18 0^{\circ}$ , deci rezultatul este $- 64$ . Formula ține și pentru exponenți negativi.

Formula lui Moivre: $(cos φ + i sin φ)^{n} = cos n φ + i sin n φ$ , pentru orice $n \in Z$ (demonstrată prin inducție pentru $n \in N$ , apoi extinsă la exponenți negativi prin $z^{- m} = \frac{1}{z ^{m}}$ ). Forma folosită în probleme: pentru $z = r (cos φ + i sin φ)$ ,

$z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ) .$

Modulul se ridică la puterea $n$ , argumentul se înmulțește cu $n$ — apoi argumentul $n φ$ se reduce obligatoriu la $[0, 2 π)$ , scăzând (sau adunând, la exponenți negativi) multipli de $2 π$ .

Natura rezultatului se citește direct din unghi: $z^{n}$ este real exact când $n φ$ e multiplu de $π$ , și pur imaginar exact când $n φ = \frac{π}{2} + k π$ . Așa se află cel mai mic exponent pentru care o putere devine reală: se pune condiția ca $n φ$ să fie multiplu de $π$ și se rezolvă în numere naturale.

Egalând dezvoltarea binomială a lui $(cos x + i sin x)^{n}$ cu $cos n x + i sin n x$ și identificând părțile, Moivre produce și formulele unghiului dublu, triplu etc.

Algoritmul de calcul al unei puteri are patru pași ficși: scrii $z$ trigonometric (modul, cadran, argument), aplici Moivre (modulul la puterea $n$ , argumentul înmulțit cu $n$ ), reduci argumentul obținut la $[0, 2 π)$ , apoi revii la forma algebrică dacă enunțul o cere. Pasul de reducere este cel care se uită cel mai des, deși e obligatoriu pentru ca forma finală să fie standard.

De reținut

$z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$
argumentul $n φ$ se readuce în $[0, 2 π)$
$z^{n}$ real $⟺ n φ$ multiplu de $π$

Greșeala tipică

Se înmulțește argumentul cu exponentul și rezultatul se lasă peste o rotație completă. Argumentul redus trebuie să rămână sub $2 π$ , deci se scad rotațiile în plus.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $(cos \frac{π}{9} + i sin \frac{π}{9})^{18}$ .
- a) $1$
- b) $- 1$
- c) $i$
- d) $- i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1$

Modulul rămâne $1$ ; argumentul devine $18 \cdot \frac{π}{9} = 2 π$ , care se reduce la $0$ , deci rezultatul este $cos 0 + i sin 0 = 1$ .
Pentru un număr $z$ cu modulul $2$ și argumentul $\frac{π}{5}$ , calculați modulul lui $z^{10}$ .
- a) $20$
- b) $1024$
- c) $2$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1024$

Modulul se ridică la puterea $n$ : $2^{10} = 1024$ .
Pentru $z = 2 (cos \frac{π}{9} + i sin \frac{π}{9})$ , calculați, în grade, argumentul redus al lui $z^{12}$ .
- a) $120°$
- b) $20°$
- c) $240°$
- d) $480°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $240°$

Argumentul lui $z$ este $\frac{π}{9} = 20°$ , deci $12 \cdot 20° = 240°$ , deja în $[0°, 360°)$ .

Întrebări conexe

Cât face cosinus de pi supra 9, plus i sinus de pi supra 9, la puterea a optsprezecea?

Modulul fiind $1$ , el rămâne $1$ la orice putere. Argumentul devine $18 \cdot \frac{π}{9} = 2 π$ , adică o rotație completă, care se reduce la $0$ . Rezultatul este așadar $cos 0 + i sin 0 = 1$ , un număr real. Exemplul arată de ce reducerea argumentului este obligatorie.

Cât este modulul lui z la a zecea, dacă modulul lui z este 2?

Modulul unei puteri este puterea modulului, deci $2^{10} = 1024$ . Argumentul nu intră în calcul aici. Regula se aplică oricărui exponent întreg, inclusiv negativ, unde ar da o valoare subunitară.

Care este argumentul redus, în grade, al lui z la a douăsprezecea, dacă argumentul este pi supra 9?

Unghiul $\frac{π}{9}$ înseamnă $20$ de grade, deci noul argument este $12 \cdot 20 = 240$ de grade. Valoarea se află deja sub o rotație completă, așa că nu mai trebuie redusă. Punctul cade în cadranul al treilea.

Când este pur imaginară o putere a unui număr complex?

Când argumentul înmulțit cu exponentul cade pe axa verticală, adică $n φ = \frac{π}{2} + k π$ . Pentru un număr cu argumentul $\frac{π}{4}$ , condiția se împlinește la $n = 2$ , apoi din patru în patru. Modulul nu intră în discuție, fiindcă el nu schimbă direcția.

Cât este modulul lui 1 minus i, la puterea a șasea?

Modulul lui $1 - i$ este $1 + 1 = 2$ . Ridicat la a șasea, dă $(2)^{6} = 2^{3} = 8$ . Ai aflat mărimea rezultatului fără să dezvolți puterea, ceea ce ar fi cerut mult mai mult calcul.

Care este argumentul redus, în grade, al lui 1 plus i, la puterea a douăsprezecea?

Argumentul lui $1 + i$ este $45$ de grade, fiindcă părțile lui sunt egale și pozitive. Înmulțit cu $12$ , dă $540$ de grade, care trece de o rotație completă. Scăzând $360$ , rămâne $180$ de grade, deci rezultatul se află pe partea negativă a axei reale.

Oamenii mai întreabă și: formula lui Moivre · puterea unui număr complex · cum calculez 1 plus i la puterea 12 · modulul se ridică la putere · argumentul se înmulțește cu n