Cât este sinus de 210 grade?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formulele cu π+x și 2π−x

Este $- \frac{1}{2}$ . Scrii unghiul ca $18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}$ : încă o jumătate de tură mută punctul exact în cel diametral opus, așa că ambele lui coordonate ies cu semn schimbat. Prin urmare sinusul de $21 0^{\circ}$ este sinusul de $3 0^{\circ}$ cu minus în față. Rezultatul negativ se potrivește cu cadranul al treilea.

Pe cercul trigonometric, punctul asociat lui $x$ are coordonatele $M (x) = (cos x, sin x)$ . Argumentul $π + x$ înseamnă o jumătate de tură în plus, iar punctul $M (π + x)$ este simetricul lui $M (x)$ față de origine: ambele coordonate își schimbă semnul. De aici formulele $sin (π + x) = - sin x$ și $cos (π + x) = - cos x$ , valabile pentru orice număr real $x$ . Argumentul $2 π - x$ înseamnă o tură completă parcursă înapoi cu $x$ ; cum $M (2 π - x) = M (- x)$ , iar $M (x)$ și $M (- x)$ sunt simetrice față de axa $O x$ , doar ordonata își schimbă semnul: $sin (2 π - x) = - sin x$ , dar $cos (2 π - x) = cos x$ . Contrastul de reținut: la $π + x$ ambele funcții schimbă semnul; la $2 π - x$ numai sinusul. Aceste formule permit calculul rapid al valorilor din cadranele III și IV: de exemplu $21 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}$ dă $sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , iar $30 0^{\circ} = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ dă $cos 30 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Strategia generală de reducere: se aduce unghiul în $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ , se scrie sub forma potrivită ( $18 0^{\circ} + t$ sau $36 0^{\circ} - t$ , cu $t$ în primul cadran), apoi se aplică formula și se pune semnul dictat de cadran.

De reținut

$sin (π + x) = - sin x$ și $cos (π + x) = - cos x$
$sin (2 π - x) = - sin x$ , dar $cos (2 π - x) = cos x$
la $π + x$ se schimbă ambele semne, la $2 π - x$ doar sinusul

Greșeala tipică

Se schimbă semnul și la cosinus în formula cu $2 π - x$ , ca și cum ar fi vorba de o jumătate de tură; acolo oglindirea este față de axa orizontală, iar abscisa rămâne neatinsă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este formula corectă pentru $sin (π + x)$ ?
- a) $sin (π + x) = sin x$
- b) $sin (π + x) = - sin x$
- c) $sin (π + x) = cos x$
- d) $sin (π + x) = - cos x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin (π + x) = - sin x$

Punctul $M (π + x)$ este simetricul lui $M (x)$ față de origine, deci ambele coordonate $(cos x, sin x)$ își schimbă semnul: $M (π + x) = (- cos x, - sin x)$ . Identificând ordonatele, $sin (π + x) = - sin x$ .
Care este formula corectă pentru $cos (2 π - x)$ ?
- a) $cos (2 π - x) = cos x$
- b) $cos (2 π - x) = - cos x$
- c) $cos (2 π - x) = sin x$
- d) $cos (2 π - x) = - sin x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $cos (2 π - x) = cos x$

Punctul $M (2 π - x)$ este simetricul lui $M (x)$ față de axa $O x$ : abscisa (cosinusul) rămâne neschimbată, doar ordonata (sinusul) își schimbă semnul. Deci $cos (2 π - x) = cos x$ , spre deosebire de $cos (π + x) = - cos x$ .
Cât este $sin 21 0^{\circ}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $- \frac{1}{2}$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $- \frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{1}{2}$

Scriem $21 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}$ și aplicăm $sin (π + x) = - sin x$ : $sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ . Rezultatul e negativ, cum se cuvine în cadranul III.

Întrebări conexe

Cum calculez sinusul lui pi plus x?

Iese sinusul lui $x$ cu semn schimbat. Punctul se mută în cel diametral opus, deci coboară sub axa orizontală dacă era deasupra. Aceeași regulă se aplică și cosinusului, care își schimbă tot semnul la această trecere.

Cum calculez cosinusul lui 2 pi minus x?

Rămâne neschimbat, egal cu cosinusul lui $x$ . O tură completă parcursă înapoi cu $x$ duce în punctul oglindit față de axa orizontală, iar oglindirea aceasta păstrează abscisa. Doar sinusul își schimbă semnul.

Cât este tangenta de 225 de grade?

Este $1$ . Scrii unghiul ca $18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ , iar tangenta nu se schimbă la adăugarea unei jumătăți de tură, fiindcă cele două semne minus de la sinus și cosinus se simplifică. Deci rezultatul este chiar tangenta de $4 5^{\circ}$ .

Cât este sinus de 300 de grade?

Este $- \frac{3}{2}$ . Scrii unghiul ca $36 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ , iar la această trecere sinusul își schimbă semnul, deci iei sinusul de $6 0^{\circ}$ cu minus. Cosinusul aceluiași unghi rămâne pozitiv, egal cu $\frac{1}{2}$ .

De ce unghiurile din cadranul al patrulea au cosinusul pozitiv?

Fiindcă punctele lor se află în dreapta axei verticale, deci abscisa rămâne pozitivă, iar cosinusul este chiar abscisa. Ordonata, în schimb, coboară sub axa orizontală, așa că sinusul iese negativ. Tangenta, ca raport, este tot negativă acolo.

Oamenii mai întreabă și: cât face sin 210 · sinus de 210 grade · formulele cu pi plus x · reducerea unghiurilor din cadranele III și IV