Ce este frecvența cumulată?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cel mult sau cel puțin?

Frecvența cumulată crescător a unei valori adună frecvențele tuturor valorilor până la ea inclusiv, deci arată câte dintre date nu depășesc acea valoare. Se calculează cu recurența $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ , pornind de la prima linie. Dacă notele $6, 7, 8$ au frecvențele $4, 3, 5$ , coloana cumulată devine $4, 7, 12$ . Simetric, cumulata descrescător numără datele de la o valoare în sus. Ultima cumulată crescător trebuie să fie chiar numărul de date.

Întrebările „câți au cel mult…" sau „câți au cel puțin…" cer, altfel, o adunare refăcută de fiecare dată. Soluția e o singură coloană calculată o dată: frecvența cumulată crescător $N_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{i}$ , care dă numărul de date cu valoarea cel mult egală cu $v_{i}$ , obținută prin recurența $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ . Simetric, frecvența cumulată descrescător $N_{i}^{↓}$ dă numărul celor cu valoarea cel puțin $v_{i}$ .

Trei verificări confirmă un tabel corect: ultima cumulată crescător este $n$ ; prima cumulată descrescător e tot $n$ ; iar $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n$ , pe orice linie. Din coloana cumulată se recuperează frecvențele absolute prin scădere, $n_{i} = N_{i} - N_{i - 1}$ .

Cea mai frecventă greșeală de vocabular: „strict sub $v_{i}$ " înseamnă $N_{i - 1}$ , nu $N_{i}$ , pentru că $N_{i}$ include deja valoarea $v_{i}$ . Pentru un interval „între $v_{i}$ și $v_{j}$ , inclusiv", răspunsul este $N_{j} - N_{i - 1}$ . Cumulate în procente, coloana devine frecvențe relative cumulate, utilă mai târziu la mediană și cuartile. Toate calculele se fac pe valorile ordonate crescător ale caracteristicii — altfel coloana cumulată nu mai are niciun sens.

De reținut

$N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$
ultima cumulată crescător este $n$
„sub $v_{i}$ ” înseamnă $N_{i - 1}$ , nu $N_{i}$

Greșeala tipică

Se confundă „sub” cu „cel mult”: dacă $13$ elevi au cel mult nota $7$ , numărul celor cu note sub $7$ este cel de pe linia dinainte. Cuvântul „sub” cere coborârea cu un rând în coloană.

Exerciții din această mini-lecție

Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5 \to 3$ , $6 \to 6$ , $7 \to 9$ , $8 \to 7$ , $9 \to 5$ . Câți elevi au note strict sub $8$ ?
- a) $18$
- b) $25$
- c) $7$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18$

Strict sub $8$ înseamnă cel mult $7$ : $N (\leq 7) = 3 + 6 + 9 = 18$ elevi. Nu se include nici nota $8$ , nici o dublare a notei $7$ .
Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5 \to 3$ , $6 \to 6$ , $7 \to 9$ , $8 \to 7$ , $9 \to 5$ . Câți elevi au obținut cel puțin nota $8$ ?
- a) $18$
- b) $12$
- c) $25$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12$

Cel puțin $8$ înseamnă notele $8$ și $9$ : $7 + 5 = 12$ elevi. Echivalent, $n - N (\leq 7) = 30 - 18 = 12$ ✓.
Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5 \to 3$ , $6 \to 6$ , $7 \to 9$ , $8 \to 7$ , $9 \to 5$ . Câți elevi au note între $6$ și $8$ , inclusiv?
- a) $15$
- b) $18$
- c) $22$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $22$

$N (\leq 8) - N (\leq 5) = 25 - 3 = 22$ . Control direct: $6 + 9 + 7 = 22$ ✓.

Întrebări conexe

Ce recurență folosesc ca să completez coloana cumulată?

Fiecare linie se obține adunând la rezultatul de deasupra frecvența liniei curente, adică $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ . Nu reface suma de la capăt la fiecare pas: pe lângă timpul pierdut, refacerea repetată e locul unde apar cele mai multe greșeli de adunare.

De ce trebuie ordonate valorile înainte de cumulare?

Fiindcă „până la” are sens numai într-un șir crescător. Pe un tabel cu liniile amestecate, o cumulată nu mai numără datele mai mici decât o valoare, ci un amestec fără semnificație. Ordonarea crescătoare este primul pas, înainte de orice adunare.

Ce verificări confirmă un tabel de frecvențe cumulate?

Ultima valoare a coloanei crescătoare trebuie să fie numărul de date; prima valoare a coloanei descrescătoare trebuie să fie tot acest număr; iar pe orice linie, cumulata crescător plus cumulata descrescător a liniei următoare dă tot numărul de date.

Ce înseamnă „cel puțin” într-un tabel cumulat?

Trimite la coloana cumulată descrescător, care numără datele de la valoarea curentă în sus. „Cel puțin nota $8$ ” se citește deci din coloana descrescătoare, în timp ce „cel mult nota $8$ ” se citește din cea crescătoare.

Ce relație leagă cumulata crescător de cea descrescător?

Pe fiecare linie, cele două coloane acoperă împreună tot setul, cu valoarea liniei numărată de două ori: cumulata crescător a liniei $i$ plus cumulata descrescător a liniei $i + 1$ dă numărul total de date. Egalitatea aceasta prinde imediat o greșeală de adunare.

La ce folosesc mai departe frecvențele cumulate?

Din ele se citește direct poziția din mijloc, deci mediana și cuartilele, fără să rescrii tot șirul. Exprimate în procente, ele dau frecvențele relative cumulate, cu care se lucrează la poligonul cumulat și la estimările grafice.

Oamenii mai întreabă și: frecvență cumulată crescător · ce este frecvența cumulată · coloana cumulată la un tabel de frecvențe · câte date au cel mult o valoare