Care este domeniul maxim de definiție al funcției cotangentă?

$$\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$$

$$\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$$

$$\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$$

Ce este cotangenta?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cotangenta și periodicitatea funcțiilor trigonometrice

Este raportul dintre cosinus și sinus, deci inversul tangentei. Are sens doar acolo unde sinusul nu se anulează, așa că din domeniu se scot multiplii întregi ai lui $π$ . Ia valori pe toată axa reală, este pozitivă în cadranele I și III și se repetă din $π$ în $π$ . De exemplu, cotangenta de $4 5^{\circ}$ este $1$ .

Cotangenta este a patra funcție trigonometrică, definită prin $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$ , pentru orice $x$ cu $sin x \neq = 0$ . Domeniul maxim de definiție este $D_{ctg} = R ∖ {k π ∣ k \in Z}$ — cotangenta „cade" exact acolo unde tangenta este perfect definită, și invers. Geometric, se citește pe axa cotangentelor, dreapta orizontală $y = 1$ tangentă la cercul trigonometric în $B (0, 1)$ : se prelungește raza $O M (x)$ până taie această dreaptă, iar abscisa punctului obținut este $ctg x$ . Este pozitivă în cadranele I și III, negativă în II și IV, la fel ca tangenta.

A doua idee majoră a lecției este periodicitatea, definită riguros: $f$ este periodică dacă există $T \neq = 0$ astfel încât $f (x + T) = f (x)$ pentru orice $x$ din domeniu; cea mai mică valoare strict pozitivă a lui $T$ se numește perioada principală. Se demonstrează, prin reducere la absurd, că sinusul și cosinusul au perioada principală $2 π$ , iar tangenta și cotangenta au perioada principală $π$ — jumătate, pentru că $ctg (x + π) = ctg x$ . Dacă $f$ are perioada $T_{0}$ , atunci $f (a x + b)$ are perioada $\frac{T _{0}}{∣ a ∣}$ . Din formula fundamentală se deduce și relația nouă $1 + ctg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$ , soră a celei cu tangenta, alături de $tg x \cdot ctg x = 1$ .

De reținut

$ctg x = \frac{cos x}{sin x}$ , definită unde $sin x \neq = 0$
$tg x \cdot ctg x = 1$
perioada principală a cotangentei este $π$
$1 + ctg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$

Greșeala tipică

Domeniul cotangentei este scris ca al tangentei, scoțând valorile în care se anulează cosinusul; aici se scot numerele în care se anulează sinusul, adică multiplii lui $π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul maxim de definiție al funcției cotangentă?
- a) $R ∖ {k π ∣ k \in Z}$
- b) $R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$
- c) $R$
- d) $R ∖ {\frac{k π}{2} ∣ k \in Z}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R ∖ {k π ∣ k \in Z}$

Cotangenta este fracția $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$ , deci nu există unde $sin x = 0$ , adică pentru $x = k π$ ; corect este varianta a. Varianta b este domeniul tangentei (unde se anulează cosinusul), nu al cotangentei — o confuzie frecventă semnalată explicit în lecție. Varianta c e greșită pentru că exclude un fapt cert: cotangenta chiar nu există în $x = 0$ . Varianta d exclude prea mult: în $x = \frac{π}{2}$ , de exemplu, cotangenta există și valorează $0$ , deci $\frac{π}{2}$ nu trebuie exclus.
Care este perioada principală a funcției cotangentă?
- a) $2 π$
- b) $\frac{π}{2}$
- c) $π$
- d) $4 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $π$

Din $ctg (x + π) = ctg x$ rezultă că $π$ este perioadă, iar demonstrația prin reducere la absurd arată că niciun număr din $(0, π)$ nu poate fi perioadă, deci $π$ este perioada principală — varianta c. Varianta d, $4 π$ , este o greșeală înrudită: $4 π$ este într-adevăr o perioadă (orice multiplu al lui $π$ este perioadă), dar e cu atât mai departe de a fi cea mai mică. Varianta a, $2 π$ , este greșeala frecventă semnalată explicit în lecție: și $2 π$ este o perioadă, dar nu cea principală. Varianta b nici măcar nu este o perioadă a cotangentei: $ctg (x + \frac{π}{2}) \neq = ctg x$ în general (de exemplu în $x = \frac{π}{4}$ se obține $ctg \frac{3 π}{4} = - 1 \neq = 1 = ctg \frac{π}{4}$ ).
Împărțind formula fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ la $sin^{2} x$ , se obține relația $1 + ctg^{2} x =$
- a) $1 - tg^{2} x$
- b) $\frac{1}{sin ^{2} x}$
- c) $sin^{2} x$
- d) $\frac{1}{cos ^{2} x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{sin ^{2} x}$

Împărțind $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ la $sin^{2} x$ obținem $1 + \frac{cos ^{2} x}{sin ^{2} x} = \frac{1}{sin ^{2} x}$ , adică exact $1 + ctg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$ — varianta b, valabilă pentru $x \neq = k π$ . Varianta d, $\frac{1}{cos ^{2} x}$ , este relația-soră $1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , obținută împărțind la $cos^{2} x$ , nu la $sin^{2} x$ — ușor de confundat dacă nu reții care funcție stă la numitor. Varianta a nu are sens dimensional (membrul stâng e mereu $\geq 1$ , dreapta poate fi subunitară). Varianta c confundă complet direcția calculului.

Întrebări conexe

Cât este cotangenta de 45 de grade?

Este $1$ , fiindcă sinusul și cosinusul acelui unghi sunt egale, iar raportul lor dă unu. La $13 5^{\circ}$ rezultatul devine $- 1$ , fiindcă acolo cosinusul este negativ, iar sinusul rămâne pozitiv. Cotangenta de $9 0^{\circ}$ este zero.

Ce relație există între tangentă și cotangentă?

Produsul lor este egal cu unu, oriunde amândouă există, deci fiecare este inversul celeilalte. Din tangentă egală cu $\frac{4}{3}$ rezultă cotangentă egală cu $\frac{3}{4}$ . Ele au aceleași semne pe cadrane, fiindcă un număr și inversul lui au același semn.

Cum arată graficul funcției cotangentă?

Are ramuri care coboară, câte una pe fiecare interval de lungime $π$ , despărțite de drepte verticale. Fiecare ramură pornește de foarte sus și coboară foarte jos, tăind axa orizontală la mijlocul intervalului. Este descrescătoare pe fiecare ramură, spre deosebire de tangentă.

Cât este cotangenta unui unghi din cadranul al doilea?

Este negativă, fiindcă acolo cosinusul este negativ, iar sinusul pozitiv, deci raportul iese sub zero. Același semn îl are și tangenta pe acel cadran. Pentru $13 5^{\circ}$ , de exemplu, rezultatul este $- 1$ .

La ce folosesc perioadele când rezolv o ecuație trigonometrică?

Perioada îți spune din cât în cât se repetă soluțiile, deci scrii toată mulțimea lor cu un parametru întreg. La sinus și cosinus pasul este $2 π$ , la tangentă și cotangentă doar $π$ . Dacă argumentul este înmulțit cu un număr, pasul se împarte la acel număr.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă cotangenta · formula cotangentei · ctg x este cos supra sin · cotangenta domeniu și semne