Ce este funcția exponențială și cum arată?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția exponențială $a^{x}$

Este funcția $f (x) = a^{x}$ , în care variabila stă la exponent, iar baza $a$ este pozitivă și diferită de unu. Valorile ies mereu strict pozitive, deci graficul rămâne deasupra axei orizontale și se apropie de ea fără să o atingă. Toate curbele trec prin punctul $(0, 1)$ . Pentru bază supraunitară funcția crește, iar pentru bază subunitară scade.

Funcția exponențială este $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , cu baza $a > 0$ și $a \neq = 1$ — aici exponentul este variabila, nu baza. Baza trebuie să fie pozitivă (altfel puterile cu exponent fracționar, ca $(- 4)^{0, 5} = - 4$ , n-ar exista în $R$ ) și diferită de $1$ (altfel $1^{x} = 1$ pentru orice $x$ , o funcție constantă, fără interes).

Valorile funcției sunt întotdeauna strict pozitive: mulțimea valorilor este $(0, + \infty)$ , graficul nu taie niciodată axa $O x$ , ci se apropie oricât de mult de ea — axa $O x$ este asimptotă orizontală. Toate graficele trec prin punctul $(0, 1)$ (căci $a^{0} = 1$ ) și prin $(1, a)$ , de unde se poate citi baza direct de pe desen.

Monotonia depinde doar de bază: pentru $a > 1$ funcția e strict crescătoare, pentru $0 < a < 1$ e strict descrescătoare — grafic, curbele bazelor inverse $a$ și $\frac{1}{a}$ sunt simetrice față de axa $O y$ . Ecuația $a^{x} = m$ are exact o soluție dacă $m > 0$ și nicio soluție dacă $m \leq 0$ ; la clasa a IX-a aceste ecuații se rezolvă doar grafic, prin citire și încadrare, fără algebră cu logaritmi.

De reținut

$f (x) = a^{x}$ cu $a > 0$ , $a \neq = 1$
$Im f = (0, \infty)$ , axa $O x$ este asimptotă
toate graficele trec prin $(0, 1)$
$a > 1$ crescătoare, $0 < a < 1$ descrescătoare

Greșeala tipică

Se confundă puterea cu exponent variabil cu funcția putere, unde variabila stă în bază; la exponențială se schimbă exponentul, iar creșterea este mult mai rapidă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea valorilor funcției $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ ?
- a) $R$
- b) $(0, + \infty)$
- c) $[0, + \infty)$
- d) $R ∖ {0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, + \infty)$

O putere cu bază strict pozitivă este mereu strict pozitivă, oricât de mic ar fi exponentul, dar nu atinge niciodată $0$ : mulțimea valorilor este $(0, + \infty)$ .
Care dintre următoarele valori nu poate fi baza unei funcții exponențiale $f (x) = a^{x}$ ?
- a) $5$
- b) $0, 5$
- c) $1$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Dacă $a = 1$ , atunci $1^{x} = 1$ pentru orice $x$ , deci am obține o funcție constantă, fără monotonie. De aceea definiția cere explicit $a \neq = 1$ .
Graficul unei funcții exponențiale $f (x) = a^{x}$ trece prin punctul $(2, 9)$ . Care este baza $a$ ?
- a) $a = 3$
- b) $a = 9$
- c) $a = - 3$
- d) $a = 4, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = 3$

Din condiția dată, $a^{2} = 9$ . Cum baza trebuie să fie strict pozitivă, singura variantă este $a = 3$ (varianta $- 3$ se exclude prin definiție).

Întrebări conexe

Ce valori ia funcția exponențială?

Ia exact numerele strict pozitive, deci imaginea este $(0, \infty)$ . Oricât de mic ar fi exponentul, rezultatul rămâne peste zero, iar oricât de mare, el crește fără margine. Numărul zero și numerele negative nu apar niciodată printre valori.

Cum compar 2 la puterea 5 cu 2 la puterea 7 fără calculator?

Te uiți la bază: fiind mai mare decât unu, puterea crește odată cu exponentul. Cum $5 < 7$ , rezultă că prima putere este mai mică. Dacă baza ar fi fost între zero și unu, concluzia s-ar fi întors, iar puterea cu exponent mai mare ar fi ieșit mai mică.

Cum rezolv ecuația 3 la puterea x egal 81?

Scrii membrul drept ca putere a aceleiași baze: $81 = 3^{4}$ . Cum funcția exponențială este injectivă, exponenții trebuie să fie egali, deci $x = 4$ . Metoda merge de câte ori ambii membri se pot scrie cu aceeași bază.

Este funcția exponențială injectivă?

Da. Fiind strict crescătoare pentru bază supraunitară și strict descrescătoare pentru bază subunitară, ea nu poate da același rezultat pentru două numere diferite. De aceea, dintr-o egalitate de puteri cu aceeași bază se poate trece direct la egalitatea exponenților.

Ce legătură are funcția exponențială cu funcția logaritmică?

Sunt inverse una alteia: prima ridică baza la un exponent, a doua caută exponentul. Domeniul uneia este imaginea celeilalte, iar graficele lor se oglindesc față de dreapta $y = x$ . De aceea logaritmul există doar pentru numere strict pozitive.

Cum arată graficul lui 2 la x față de graficul lui 0,5 la x?

Cele două curbe sunt simetrice față de axa verticală, fiindcă bazele sunt inverse una alteia. Prima urcă spre dreapta, a doua coboară. Amândouă trec prin punctul $(0, 1)$ și au aceeași asimptotă orizontală, adică axa $O x$ .

Oamenii mai întreabă și: funcția exponențială a la x · graficul funcției exponențiale · ce este o funcție exponențială · funcția 2 la puterea x