Cum arată graficul funcției exponențiale?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția exponențială: definiție și grafic

Este o curbă așezată în întregime deasupra axei orizontale, fiindcă $a^{x}$ nu ia niciodată valoarea zero. Ea pornește lipită de axă și se depărtează tot mai repede: urcă atunci când baza întrece $1$ și coboară atunci când baza stă între $0$ și $1$ . Fiecare astfel de curbă trece prin punctul de coordonate $0$ și $1$ , iar axa orizontală îi rămâne asimptotă. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$ .

Funcția exponențială este $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Spre deosebire de funcția putere, aici variabila stă în exponent. Definiția devine posibilă abia acum, când $a^{x}$ are sens pentru orice $x$ real, nu doar pentru numere întregi.

Valorile sunt întotdeauna strict pozitive: graficul e în întregime deasupra axei $O x$ , pe care o are ca asimptotă orizontală — ecuația $a^{x} = 0$ nu are niciodată soluții. Toate graficele trec prin $(0, 1)$ , pentru că $a^{0} = 1$ : pentru $a > 1$ curba urcă, pentru $0 < a < 1$ curba coboară.

Graficele lui $a^{x}$ și $(\frac{1}{a})^{x}$ sunt simetrice față de axa $O y$ , pentru că $(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}$ . La baze diferite, pe $(0, + \infty)$ baza mai mare urcă mai sus, iar pe $(- \infty, 0)$ coboară mai jos.

La translații: $a^{x - c}$ mută graficul orizontal, iar asimptota rămâne $y = 0$ ; $a^{x} + b$ îl mută vertical, iar asimptota devine $y = b$ . Greșeli frecvente: confuzia $a^{x}$ cu $x^{a}$ , acceptarea bazelor negative sau a bazei $1$ , căutarea intersecției cu $O x$ (nu există pentru $a^{x}$ simplu) și mutarea greșită a asimptotei la translația orizontală.

De reținut

$f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$
toate graficele trec prin $(0, 1)$
asimptotă orizontală: $y = 0$

Greșeala tipică

Se caută punctul în care curba taie axa orizontală. Nu există: valorile rămân mereu strict pozitive, iar axa este doar o dreaptă de care graficul se apropie.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția exponențială $f (x) = a^{x}$ este definită pentru:
- a) $a > 0, a \neq = 1$
- b) doar $a > 1$
- c) $a < 0$
- d) $a \in R$ , oricare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a > 0, a \neq = 1$

Condițiile obligatorii asupra bazei: strict pozitivă și diferită de $1$ (altfel funcția ar fi constantă sau nedefinită).
Graficul funcției exponențiale $f (x) = a^{x}$ trece întotdeauna prin punctul:
- a) $(1, 0)$
- b) $(0, 1)$
- c) $(1, 1)$
- d) $(0, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, 1)$

$a^{0} = 1$ pentru orice bază $a$ , deci toate graficele funcțiilor exponențiale trec prin $(0, 1)$ .
Asimptota orizontală a graficului lui $f (x) = a^{x}$ este:
- a) nu există asimptotă
- b) $x = 0$
- c) $y = 0$
- d) $y = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = 0$

Valorile lui $a^{x}$ se apropie de $0$ fără să-l atingă niciodată, deci axa $O x$ ( $y = 0$ ) este asimptotă orizontală.

Întrebări conexe

Cum se schimbă graficul dacă mut funcția pe orizontală?

Scrierea $a^{x - c}$ deplasează curba cu $c$ unități spre dreapta, păstrându-i forma și lăsând asimptota tot pe axa orizontală. Punctul prin care trecea graficul se mută și el, deci curba nu mai taie verticala la înălțimea $1$ . Doar o deplasare pe verticală mișcă asimptota.

Ce se întâmplă cu graficul dacă baza se apropie de 1?

Curba se turtește spre dreapta orizontală de înălțime $1$ . Cu cât baza este mai aproape de $1$ , cu atât urcarea sau coborârea devine mai lentă, iar la baza $1$ funcția ar fi constantă — motiv pentru care acea valoare este scoasă din definiție.

Unde ajunge asimptota dacă adun 3 la o funcție exponențială?

Toată curba urcă cu trei unități, deci și dreapta de care se apropie: asimptota devine $y = 3$ . Forma graficului nu se schimbă, se mută doar pe verticală. O deplasare pe orizontală, ca la $a^{x - c}$ , lasă asimptota tot pe axă.

Cât este baza dacă graficul funcției exponențiale trece prin punctul de coordonate 2 și 9?

Condiția înseamnă $a^{2} = 9$ , de unde $a = 3$ sau $a = - 3$ . Baza trebuie să fie pozitivă, așa că răspunsul rămâne $a = 3$ . Verificarea e imediată: $3^{2}$ chiar dă $9$ , iar baza aleasă este diferită de $1$ .

De ce sunt simetrice graficele lui a la x și ale lui 1 supra a, la x?

Fiindcă $(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}$ , iar schimbarea semnului argumentului oglindește curba față de axa verticală. Ce urcă la o bază coboară la cealaltă, în același ritm, iar cele două curbe se întâlnesc exact în punctul de coordonate $0$ și $1$ .

Cât face f de minus 1 pentru funcția 4 la puterea x?

Un exponent negativ trimite puterea la numitor: $4^{- 1} = \frac{1}{4}$ , adică $0, 25$ . Rezultatul este pozitiv, ca orice valoare a unei funcții exponențiale, și mai mic decât $1$ , ceea ce se potrivește cu o bază supraunitară și un argument negativ.

Oamenii mai întreabă și: graficul funcției exponențiale · cum se desenează a la puterea x · funcția exponențială definiție · de ce nu atinge graficul axa Ox · prin ce punct trec toate exponențialele