Cum arată graficul funcției logaritmice?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția logaritmică: proprietăți

Este oglindirea curbei exponențiale față de prima bisectoare, adică față de dreapta $y = x$ . Curba pornește din dreapta axei verticale, de care se apropie fără s-o atingă, și trece prin punctul de coordonate $1$ și $0$ , oricare ar fi baza. Urcă atunci când baza întrece $1$ și coboară atunci când baza stă între $0$ și $1$ . Domeniul este $(0, \infty)$ , iar valorile acoperă toată axa numerelor reale.

Funcția logaritmică $f : (0, \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ (cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ ), este inversa funcției exponențiale $g (x) = a^{x}$ . De aici vin, aproape gratuit, toate proprietățile ei.

Domeniul este exact $(0, \infty)$ — codomeniul exponențialei — pentru că nu există exponent care să dea un rezultat negativ sau nul. Graficul este simetricul graficului exponențialei față de prima bisectoare $y = x$ ; trece prin $(1, 0)$ pentru orice bază, fiindcă $lo g_{a} 1 = 0$ . Monotonia se transportă din exponențială: pentru $a > 1$ funcția e strict crescătoare, pentru $0 < a < 1$ e strict descrescătoare — și aici se schimbă sensul la comparări și, mai târziu, la inecuații.

Din monotonie rezultă injectivitatea: pentru $u, v > 0$ , $lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v$ , regula pe care se sprijină toate ecuațiile logaritmice. Semnul se citește comparând argumentul cu $1$ , nu cu $0$ : pentru $a > 1$ , funcția e negativă pe $(0, 1)$ și pozitivă pe $(1, \infty)$ ; pentru $0 < a < 1$ , invers. Când baza însăși depinde de $x$ , domeniul cere trei condiții: argument pozitiv, bază pozitivă și diferită de $1$ .

De reținut

$f : (0, \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$
toate graficele trec prin $(1, 0)$
$lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v$ , pentru $u, v > 0$

Greșeala tipică

Se cere doar ca argumentul să fie pozitiv, când necunoscuta apare și în bază. Atunci se adaugă două condiții: baza strict pozitivă și baza diferită de $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = lo g_{x - 1} (6 - x)$ .
- a) $(1, 2) \cup (2, 6)$
- b) $(1, 6)$
- c) $(- \infty, 6)$
- d) $(2, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(1, 2) \cup (2, 6)$

Trei condiții: $6 - x > 0 \Rightarrow x < 6$ ; $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ ; $x - 1 \neq = 1 \Rightarrow x \neq = 2$ . Intersectând: $(1, 2) \cup (2, 6)$ . Varianta b) uită condiția asupra bazei.
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $lo g_{0, 2} 4 < lo g_{0, 2} 9$
- b) $lo g_{0, 2} 4 > lo g_{0, 2} 9$
- c) $lo g_{0, 2} 4 = lo g_{0, 2} 9$
- d) nu se pot compara
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $lo g_{0, 2} 4 > lo g_{0, 2} 9$

Baza $0, 2$ este subunitară, deci funcția e strict descrescătoare: din $4 < 9$ rezultă $lo g_{0, 2} 4 > lo g_{0, 2} 9$ . La baze subunitare ordinea se inversează față de ordinea argumentelor.
Pentru $a > 1$ , mulțimea pe care $lo g_{a} x < 0$ este:
- a) $(- \infty, 0)$
- b) $(1, \infty)$
- c) $(0, 1)$
- d) $(0, a)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(0, 1)$

Pentru $a > 1$ funcția e crescătoare și se anulează în $x = 1$ : e negativă înaintea lui $1$ , deci pe $(0, 1)$ , și pozitivă pe $(1, \infty)$ .

Întrebări conexe

Ce legătură are funcția logaritmică cu funcția exponențială?

Sunt una inversa celeilalte. Ce face exponențiala, logaritmul desface: $lo g_{a} a^{x} = x$ și $a^{l o g_{a} x} = x$ . De aceea domeniul uneia este mulțimea valorilor celeilalte, iar graficele lor se oglindesc față de prima bisectoare. Toate proprietățile logaritmului se obțin transportându-le pe cele ale exponențialei.

Ce domeniu are funcția logaritm în baza x minus 1 din 6 minus x?

Pui toate cele trei condiții: argumentul pozitiv dă $x < 6$ , baza pozitivă dă $x > 1$ , iar baza diferită de $1$ scoate valoarea $x = 2$ . Intersecția lor este reuniunea intervalelor $(1, 2)$ și $(2, 6)$ . Uitarea condiției asupra bazei este greșeala obișnuită aici.

Pe ce interval este negativ logaritmul cu bază supraunitară?

Pe intervalul $(0, 1)$ , adică atunci când argumentul este subunitar. Funcția urcă și se anulează exact în $1$ , deci înaintea acestui punct valorile sunt sub zero, iar după el peste zero. Pragul care desparte semnele este argumentul $1$ , nu argumentul zero.

Ce asimptotă are graficul funcției logaritmice?

Axa verticală, adică dreapta de ecuație $x = 0$ . Când argumentul se apropie de zero prin valori pozitive, logaritmul coboară spre minus infinit la bază supraunitară și urcă spre plus infinit la bază subunitară. Curba se strânge tot mai aproape de axă, dar nu ajunge niciodată pe ea.

Față de ce dreaptă sunt simetrice graficele funcțiilor logaritmică și exponențială?

Față de prima bisectoare, dreapta de ecuație $y = x$ . Simetria aceasta este trăsătura oricărei perechi de funcții inverse: un punct de coordonate $(u, v)$ de pe o curbă îi corespunde punctul $(v, u)$ de pe cealaltă. Asimptota verticală a uneia vine din cea orizontală a celeilalte.

Cum compar doi logaritmi scriși în bază subunitară?

Sensul se întoarce față de ordinea argumentelor: argumentul mai mare dă logaritmul mai mic. Astfel, din $4 < 9$ rezultă $lo g_{0, 2} 4 > lo g_{0, 2} 9$ . Motivul este că funcția coboară pe tot domeniul atunci când baza stă între $0$ și $1$ .

Oamenii mai întreabă și: graficul funcției logaritmice · domeniul funcției logaritmice · funcția logaritmică proprietăți · prin ce punct trec graficele logaritmice · logaritmul este inversa exponențialei