Ce se poate spune despre funcția $$f(x)=x^7$$?

este impară și strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

este pară și strict crescătoare pe $$[0,\infty)$$

este impară și strict descrescătoare pe $$\mathbb{R}$$

Ce este funcția putere x la puterea n?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția putere cu exponent întreg

Este funcția care ridică variabila la un exponent întreg fixat. Pentru exponent natural nenul ea are sens pe toată axa, iar pentru exponent negativ se scrie ca o fracție, deci zero iese din domeniu. Comportarea depinde de paritatea exponentului: la exponent par funcția este pară, coboară și apoi urcă, iar la exponent impar este impară și crește peste tot.

Pentru $n \in N^{*}$ , funcția putere este $f : R \to R$ , $f (x) = x^{n}$ , iar pentru exponent negativ, $g : R^{*} \to R$ , $g (x) = x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ (domeniul exclude $0$ , din cauza împărțirii).

Paritatea urmează paritatea exponentului: din $f (- x) = (- 1)^{n} x^{n}$ , rezultă că $f$ este pară dacă $n$ e par (grafic simetric față de $O y$ ) și impară dacă $n$ e impar (grafic simetric față de origine).

Monotonia se demonstrează cu identitatea $x_{2}^{n} - x_{1}^{n} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2}^{n - 1} + \dots + x_{1}^{n - 1})$ : pentru $n$ impar, $f$ este strict crescătoare pe tot $R$ ; pentru $n$ par, $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0]$ și strict crescătoare pe $[0, \infty)$ .

Din stricta monotonie rezultă injectivitatea: pentru $n$ impar, $f$ este injectivă pe $R$ ; pentru $n$ par, $f$ nu este injectivă (contraexemplu: $f (- 1) = f (1) = 1$ ), dar devine injectivă pe $[0, \infty)$ .

Consecința practică, pentru ecuația $x^{n} = m$ : dacă $n$ e impar, există exact o soluție reală, oricare ar fi $m$ ; dacă $n$ e par, există două soluții opuse pentru $m > 0$ , una singură ( $x = 0$ ) pentru $m = 0$ și niciuna pentru $m < 0$ . Restricția $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ este bijectivă, iar inversa ei este funcția radical.

De reținut

exponent par: funcție pară, valori nenegative
exponent impar: funcție impară, strict crescătoare pe $R$
$x^{n} = m$ are două soluții, una sau niciuna, după paritatea lui $n$ și semnul lui $m$

Greșeala tipică

Se scrie că orice putere a unui număr negativ iese negativă, deși la exponent par rezultatul este pozitiv; verifică pe un exemplu scurt, cum ar fi puterea a șasea a lui minus doi.

Exerciții din această mini-lecție

Ce se poate spune despre funcția $f (x) = x^{7}$ ?
- a) este impară și strict crescătoare pe $R$
- b) este pară și strict crescătoare pe $[0, \infty)$
- c) este impară și strict descrescătoare pe $R$
- d) este pară pe $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) este impară și strict crescătoare pe $R$

Exponentul $7$ este impar, deci $f (- x) = - f (x)$ (funcție impară) și, din identitatea de factorizare, $f$ este strict crescătoare pe tot $R$ .
Care este un contraexemplu care arată că $f (x) = x^{6}$ nu este injectivă?
- a) $f (- 1) = f (1) = 1$
- b) $f (0) = 0$
- c) $f (2) = 64$
- d) $f (- 2) = - 64$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (- 1) = f (1) = 1$

$f (- 1) = (- 1)^{6} = 1$ și $f (1) = 1^{6} = 1$ : două numere distincte, $- 1 \neq = 1$ , au aceeași imagine, deci $f$ nu este injectivă. (Varianta d este greșită și numeric: $(- 2)^{6} = 64$ , nu $- 64$ .)
Câte soluții reale are ecuația $x^{6} = 64$ ?
- a) două, $x = 2$ și $x = - 2$
- b) una, $x = 2$
- c) niciuna
- d) patru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) două, $x = 2$ și $x = - 2$

Exponentul este par și membrul drept e pozitiv, deci ecuația are exact două soluții opuse. Verificare: $2^{6} = 64$ și $(- 2)^{6} = 64$ .

Întrebări conexe

Cum arată graficul funcției x la puterea a treia?

Trece prin origine, coboară la nesfârșit în stânga și urcă la nesfârșit în dreapta, fără oprire. Este simetric față de origine, fiindcă funcția este impară, și are o porțiune aproape plată în jurul lui zero. Ia toate valorile reale, fiecare o singură dată.

Ce simetrie are graficul funcției x la puterea a patra?

Este simetric față de axa verticală, fiindcă exponentul par face ca numerele opuse să dea același rezultat. Curba coboară până în origine și apoi urcă, semănând cu o parabolă, dar mai plată lângă zero și mai abruptă departe de el.

Ce înseamnă exponent negativ la funcția putere?

Înseamnă că se ia inversul puterii cu exponentul pozitiv corespunzător, deci apare o fracție. Din acest motiv zero nu poate fi înlocuit, iar domeniul devine mulțimea numerelor reale fără zero. Graficul are două ramuri și se apropie de axe fără să le atingă.

Care este mulțimea valorilor funcției x la puterea a patra?

Sunt toate numerele nenegative, adică intervalul $[0, \infty)$ . O putere cu exponent par nu poate ieși negativă, iar zero se obține doar în origine. Orice număr pozitiv apare de două ori, pentru două valori opuse ale variabilei.

Care crește mai repede, x la a doua sau x la a treia?

Pentru numere mai mari decât unu, puterea a treia crește mai repede: la $10$ ele dau $100$ și $1000$ . Pentru numere între zero și unu situația se schimbă, fiindcă puterea mai mare dă un rezultat mai mic. În zero și în unu valorile coincid.

Oamenii mai întreabă și: funcția putere · graficul lui x la puterea n · funcția x la n cu exponent întreg · puteri cu exponent negativ ca funcție