Funcția putere $$x^{1/3}$$ și funcția radical $$\sqrt[3]{x}$$:

sunt identice doar pentru $$x$$ negativ

nu au nicio legătură între ele

sunt identice pe tot $$\mathbb{R}$$

Care e domeniul funcției putere?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția putere: domeniu maxim de definiție

Depinde numai de felul exponentului fix $α$ din $f (x) = x^{α}$ . Pentru un exponent natural nenul domeniul este $R$ ; pentru un întreg negativ sau pentru $0$ este $R^{*}$ ; pentru un exponent neîntreg pozitiv este $[0, + \infty)$ ; pentru unul neîntreg negativ este $(0, + \infty)$ . Astfel $x^{3/2}$ există de la $0$ în sus, iar $x^{- 1/2}$ doar pentru valori strict pozitive. Atenție să nu confunzi $x^{α}$ cu $α^{x}$ .

Funcția putere este $f (x) = x^{α}$ , cu exponentul $α$ fix și baza variabilă — spre deosebire de funcția exponențială $a^{x}$ , unde variabila stă la exponent. Confuzia dintre ele costă scump la examen: $x^{2}$ și $2^{x}$ au grafice, domenii și comportamente complet diferite.

Domeniul maxim de definiție depinde doar de tipul exponentului, după tabelul canonic al corpusului: $R$ pentru $α = n \in N^{*}$ ; $R^{*}$ pentru $α = - n$ (întreg negativ) sau $α = 0$ ; $[0, + \infty)$ pentru $α$ neîntreg pozitiv, cu convenția $0^{α} = 0$ ; $(0, + \infty)$ pentru $α$ neîntreg negativ.

La exponent neîntreg, bazele negative nu intră în domeniu, chiar dacă un radical de ordin impar ar avea sens acolo — funcția radical $3 x$ (definită pe $R$ ) și funcția putere $x^{1/3}$ (domeniu $[0, \infty)$ ) sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0, \infty)$ .

Punctul $(1, 1)$ aparține graficului oricărei funcții putere, iar pentru $x > 0$ valorile sunt strict pozitive. La funcțiile compuse (de exemplu $(2 x - 6)^{3/4}$ ), condiția se pune asupra bazei: nenegativă dacă exponentul neîntreg e pozitiv, strict pozitivă dacă e negativ. Greșeală frecventă: a scrie domeniul $R$ pentru $x^{1/3}$ , confundându-l cu radicalul.

De reținut

$α$ natural nenul: $R$ ; $α$ întreg negativ sau $0$ : $R^{*}$
$α$ neîntreg pozitiv: $[0, + \infty)$ ; neîntreg negativ: $(0, + \infty)$
$x^{α}$ are exponentul fix, $a^{x}$ are baza fixă

Greșeala tipică

Se acceptă baze negative pentru un exponent neîntreg, pornind de la radicalii de ordin impar. Funcția putere cu asemenea exponent nu este definită pe partea negativă a axei, chiar dacă un radical scris separat ar avea sens.

Exerciții din această mini-lecție

Domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = x^{3/2}$ este:
- a) $[0, + \infty)$
- b) $R^{*}$
- c) $R$
- d) $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[0, + \infty)$

Exponentul $3/2$ este neîntreg și pozitiv, deci, conform tabelului canonic, domeniul este $[0, + \infty)$ .
Domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = x^{- 2}$ este:
- a) $[0, \infty)$
- b) $R^{*}$
- c) $R$
- d) $(0, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $R^{*}$

Exponentul $- 2$ este întreg negativ, deci domeniul este $R^{*}$ (tot planul real, mai puțin $0$ ).
Funcția putere $x^{1/3}$ și funcția radical $3 x$ :
- a) sunt identice doar pentru $x$ negativ
- b) nu au nicio legătură între ele
- c) sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0, \infty)$
- d) sunt identice pe tot $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0, \infty)$

Radicalul de ordin impar e definit pe $R$ , dar funcția putere cu exponent neîntreg are domeniul restrâns la $[0, \infty)$ — coincid doar acolo.

Întrebări conexe

Ce domeniu are funcția x la puterea trei pe doi?

Exponentul $\frac{3}{2}$ nu este întreg și este pozitiv, deci domeniul este $[0, + \infty)$ . Valoarea $0$ intră, cu convenția $0^{α} = 0$ pentru exponenți pozitivi. Numerele negative rămân în afară, fiindcă scrierea cu radical de ordin par nu are sens acolo.

Ce domeniu are funcția x la puterea minus doi?

Exponentul $- 2$ este întreg, deci baza poate fi orice număr, cu o excepție: $0$ , unde apare împărțirea la zero. Domeniul este $R^{*}$ , adică toate numerele reale în afară de zero. Valorile funcției rămân pozitive, fiindcă exponentul este par.

De ce sunt diferite funcția radical de ordinul trei și funcția x la puterea o treime?

Radicalul de ordin impar acceptă și numere negative, deci este definit pe $R$ . Funcția putere cu exponent neîntreg cere bază pozitivă, deci pornește de la $0$ . Cele două expresii coincid numai pe partea pozitivă a axei.

Ce domeniu are funcția x la puterea minus o doime?

Ai un exponent care nu este întreg și care este negativ, așa că baza se ia strict pozitivă: domeniul este $(0, + \infty)$ . Valoarea $0$ iese acum din joc, fiindcă expresia se scrie $\frac{1}{x}$ , iar numitorul nu se poate anula.

Care este cea mai mică valoare întreagă pentru care există 2x minus 6, la puterea trei pe patru?

Exponentul $\frac{3}{4}$ este neîntreg pozitiv, deci ceri ca paranteza să fie cel puțin zero: $2 x - 6 \geq 0$ , adică $x \geq 3$ . Cea mai mică valoare întreagă acceptată este $3$ , pentru care paranteza se anulează, iar rezultatul este $0$ .

Cât face f de 4 pentru funcția x la puterea trei pe doi?

Scrii $4^{3/2} = (4)^{3}$ . Radicalul lui $4$ este $2$ , iar $2^{3} = 8$ , deci valoarea căutată este $8$ . Ordinea aceasta, radical întâi și putere apoi, ține numerele mici și evită calcule inutile.

Oamenii mai întreabă și: domeniul funcției putere · funcția putere cu exponent real · x la alfa domeniul maxim de definiție · diferența dintre funcția putere și cea exponențială · unde este definită funcția x la trei pe doi