Care este domeniul maxim de definiție al funcției tangentă?

$$\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$$

$$\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$$

Care dintre afirmațiile despre funcția tangentă este adevărată?

Mulțimea valorilor ei este toată mulțimea $$\mathbb{R}$$

Este mărginită între $$-1$$ și $$1$$, la fel ca sinusul

Nu este definită în $$\pi/2$$ pentru că $$\sin(\pi/2) = 0$$

Se repetă din $$2\pi$$ în $$2\pi$$, ca sinusul

De ce nu există tangenta de 90 de grade?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția tangentă și domeniul ei

Pentru că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cosinusul acelui unghi este zero, deci ar apărea o împărțire la zero. Același lucru se întâmplă la $27 0^{\circ}$ și, în general, ori de câte ori punctul de pe cerc cade pe axa verticală. De aceea domeniul funcției scoate toate numerele de forma $\frac{π}{2} + k π$ .

Funcția tangentă se definește prin raportul $tg t = \frac{sin t}{cos t}$ , adică raportul dintre ordonata și abscisa punctului $M (t)$ de pe cercul trigonometric. Definiția are sens doar acolo unde $cos t \neq = 0$ , deci domeniul funcției tangentă este $D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$ ; pe intervalul $[0, 2 π]$ singurele valori interzise sunt $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ , exact soluțiile ecuației $cos x = 0$ . Valorile de bază se obțin împărțind sinusul la cosinus: $tg 0 = 0$ , $tg \frac{π}{6} = \frac{3}{3}$ , $tg \frac{π}{4} = 1$ , $tg \frac{π}{3} = 3$ și $tg π = 0$ . Spre deosebire de sinus și cosinus, care rămân mereu în $[- 1, 1]$ , tangenta nu este mărginită: mulțimea ei de valori este toată mulțimea $R$ , lucru vizibil pe axa tangentelor, dreapta verticală $x = 1$ pe care raza $O M$ prelungită taie punctul $T (1, tg t)$ . Tot de acolo se vede și că $tg (t + π) = tg t$ : funcția se repetă din $π$ în $π$ , nu din $2 π$ în $2 π$ . În sfârșit, din formula fundamentală rezultă relația $1 + tg^{2} t = \frac{1}{cos ^{2} t}$ , valabilă oriunde tangenta există.

De reținut

$tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , definită unde $cos x \neq = 0$
mulțimea valorilor este $R$ , deci tangenta nu e mărginită
perioada este $π$ , nu $2 π$

Greșeala tipică

Se spune că tangenta nu există în $9 0^{\circ}$ fiindcă sinusul s-ar anula acolo, dar sinusul este chiar unu; numitorul, adică cosinusul, este cel care se face zero.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul maxim de definiție al funcției tangentă?
- a) $R$
- b) $R ∖ {k π ∣ k \in Z}$
- c) $R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$
- d) $[- 1, 1]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$

Tangenta nu există acolo unde $cos t = 0$ , adică punctele de pe axa $O y$ : $t = \frac{π}{2} + k π$ . Varianta b confundă tangenta cu punctele unde se anulează sinusul, iar d confundă domeniul cu mulțimea valorilor sinusului și cosinusului.
Cât este $tg \frac{π}{3}$ ?
- a) $1$
- b) $\frac{3}{3}$
- c) $3$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3$

$tg \frac{π}{3} = \frac{sin π /3}{cos π /3} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$ . Varianta b este de fapt $tg \frac{π}{6}$ , iar a este $tg \frac{π}{4}$ .
Care dintre afirmațiile despre funcția tangentă este adevărată?
- a) Este mărginită între $- 1$ și $1$ , la fel ca sinusul
- b) Nu este definită în $π /2$ pentru că $sin (π /2) = 0$
- c) Mulțimea valorilor ei este toată mulțimea $R$
- d) Se repetă din $2 π$ în $2 π$ , ca sinusul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Mulțimea valorilor ei este toată mulțimea $R$

Tangenta se citește pe axa tangentelor, o dreaptă infinită, deci ia orice valoare reală. Nu este definită în $π /2$ pentru că acolo $cos (π /2) = 0$ (nu sinusul), iar perioada ei este $π$ , nu $2 π$ .

Întrebări conexe

Ce formulă leagă tangenta de sinus și cosinus?

Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, calculat pentru același argument. Pe cerc, asta înseamnă ordonata împărțită la abscisa punctului. Din formula fundamentală rezultă și relația prin care unu plus pătratul tangentei este egal cu inversul pătratului cosinusului.

Cum arată graficul funcției tangentă?

Este format din ramuri care se repetă din $π$ în $π$ , fiecare urcând de foarte jos până foarte sus. Între două ramuri există câte o dreaptă verticală de care curba se apropie fără să o atingă. Graficul taie axa orizontală în multiplii lui $π$ .

Unde este tangenta egală cu zero?

Acolo unde sinusul se anulează, iar cosinusul nu: în zero și, mai general, în orice multiplu întreg al lui $π$ . Pe cerc, sunt punctele aflate pe axa orizontală. Fracția se anulează doar din numărător, la fel ca la orice cât.

Ce legătură are tangenta cu panta unei drepte?

Panta unei drepte este chiar tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu axa orizontală. De aceea o rampă care urcă trei metri pe o distanță de patru metri are panta $\frac{3}{4}$ . Dreptele verticale nu au pantă, exact ca unghiul căruia nu îi există tangenta.

Este funcția tangentă crescătoare pe tot domeniul ei?

Crește pe fiecare ramură luată separat, dar nu pe tot domeniul: după o dreaptă verticală valorile sar de foarte sus la foarte jos. Compararea a două numere aflate pe ramuri diferite nu se poate face doar cu monotonia.

Oamenii mai întreabă și: de ce nu există tg 90 · tangenta de 90 de grade · domeniul funcției tangentă · unde nu este definită tangenta