Ce înseamnă arctg de un număr?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcțiile arctangentă și arccotangentă

Este unghiul din intervalul deschis dintre $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$ a cărui tangentă este numărul dat. Spre deosebire de arcsinus, aici argumentul poate fi orice număr real, fiindcă tangenta ia toate valorile. De exemplu, arctangenta lui $3$ este $\frac{π}{3}$ . Graficul are două asimptote orizontale.

Aplicăm aceeași rețetă de la $arcsin$ / $arccos$ funcțiilor $tg$ și $ctg$ , pornind, de exemplu, de la panta unui drum exprimată ca raport $tg α$ . Restrângem tangenta la intervalul deschis $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , pe care este strict crescătoare și bijectivă spre $R$ ; inversa ei este $arctg : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . Spre deosebire de $arcsin$ , domeniul lui $arctg$ este tot $R$ — nicio restricție asupra argumentului, pentru că tangenta ia toate valorile reale. Analog, restrângem cotangenta la $(0, π)$ (strict descrescătoare) și obținem $arcctg : R \to (0, π)$ . Graficul lui $arctg$ are asimptote orizontale $y = \pm \frac{π}{2}$ , oglinda asimptotelor verticale ale tangentei. $arctg$ este strict crescătoare, impară și mărginită: $arctg (- a) = - arctg a$ ; $arcctg$ este strict descrescătoare, cu valori mereu în $(0, π)$ , și verifică $arcctg (- a) = π - arcctg a$ . Identitatea de aur, pentru orice $a \in R$ , este $arctg a + arcctg a = \frac{π}{2}$ . Compunerile sigure sunt $tg (arctg a) = a$ și $ctg (arcctg a) = a$ ; în schimb $arctg (tg x) = x$ funcționează doar pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , altfel se reduce cu multipli de $π$ . Foarte utile sunt $cos (arctg a) = \frac{1}{1 + a ^{2}}$ și $sin (arctg a) = \frac{a}{1 + a ^{2}}$ , plus identitatea spectaculoasă $arctg \frac{1}{2} + arctg \frac{1}{3} = \frac{π}{4}$ , unde încadrarea sumei într-un interval e obligatorie înainte de a o identifica.

De reținut

$arctg : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
$arcctg : R \to (0, π)$
$arctg a + arcctg a = \frac{π}{2}$
$cos (arctg a) = \frac{1}{1 + a ^{2}}$

Greșeala tipică

Se aplică imparitatea și la arccotangentă, deși aceasta ia doar valori pozitive; pentru argumentul opus, rezultatul se scade din $π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $arctg 3$ ?
- a) $\frac{π}{3}$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $\frac{2 π}{3}$
- d) $- \frac{π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{π}{3}$

Căutăm $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ cu $tg x = 3$ . Din tabelul valorilor remarcabile, $tg \frac{π}{3} = 3$ , iar $\frac{π}{3}$ aparține intervalului principal. Deci $arctg 3 = \frac{π}{3}$ . Varianta c), $\frac{2 π}{3}$ , nu e în $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , deci nu poate fi rezultatul unui $arctg$ .
Cât este $arcctg (- 1)$ ?
- a) $- \frac{π}{4}$
- b) $\frac{π}{4}$
- c) $\frac{3 π}{4}$
- d) $\frac{5 π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3 π}{4}$

Folosim $arcctg (- a) = π - arcctg a$ : $arcctg (- 1) = π - arcctg 1 = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ . Varianta a) e greșeala tipică: arccotangenta nu este impară și nu ia niciodată valori negative (imaginea ei e $(0, π)$ ).
Cât este $arctg (tg \frac{5 π}{6})$ ?
- a) $\frac{5 π}{6}$
- b) $- \frac{π}{6}$
- c) $\frac{π}{6}$
- d) $\frac{π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{π}{6}$

$\frac{5 π}{6} \in / (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , deci reducem cu un multiplu de $π$ (perioada tangentei): $\frac{5 π}{6} - π = - \frac{π}{6}$ , care e în intervalul principal. Deci $arctg (tg \frac{5 π}{6}) = - \frac{π}{6}$ . Varianta a) ar fi „simplificarea oarbă", greșeala cea mai frecventă din lecție.

Întrebări conexe

Cât este arctg de 1?

Este $\frac{π}{4}$ , adică $4 5^{\circ}$ , fiindcă tangenta acelui unghi este unu, iar unghiul se află în intervalul principal. Pentru argumentul $- 1$ rezultatul devine $- \frac{π}{4}$ , prin imparitatea funcției.

Cât este arctg de radical din 3?

Este $\frac{π}{3}$ , adică $6 0^{\circ}$ , valoare care se citește din tabelul unghiurilor de bază. Rezultatul aparține intervalului principal, deci este chiar cel căutat. Pentru radicalul din trei împărțit la trei s-ar obține $\frac{π}{6}$ .

Ce interval de valori are funcția arctangentă?

Ia valori în intervalul deschis dintre $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$ , fără capete. De aceea rezultatul unei arctangente nu poate fi niciodată un unghi obtuz. Arccotangenta, în schimb, dă valori între zero și $π$ .

Cum arată graficul funcției arctangentă?

Urcă lin de la stânga la dreapta, trece prin origine și se turtește la capete, apropiindu-se de două drepte orizontale fără să le atingă. Acele drepte sunt oglinda asimptotelor verticale ale tangentei. Funcția este mărginită și impară.

Cum aflu unghiul unei pante folosind arctangenta?

Împarți urcarea la înaintare și aplici arctangenta rezultatului. Pentru o rampă care urcă un metru la patru metri obții aproximativ $1 4^{\circ}$ . Metoda funcționează fiindcă panta este chiar tangenta unghiului cu orizontala.

Oamenii mai întreabă și: ce este arctg · definiția arctangentei · cum se calculează arctg dintr-un număr · funcțiile arctg și arcctg