Când este crescătoare funcția putere?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Graficul funcției putere: monotonie

Pe intervalul numerelor strict pozitive, monotonia lui $f (x) = x^{α}$ ține doar de semnul exponentului: pentru $α > 0$ funcția urcă, pentru $α < 0$ coboară, iar pentru $α = 0$ rămâne constantă. Astfel $x^{1/2}$ crește, iar $x^{- 2}$ scade pe tot intervalul. Toate graficele trec prin punctul de coordonate $1$ și $1$ , fiindcă orice putere a lui $1$ dă $1$ . Valorile sunt mereu pozitive acolo.

Pe $(0, + \infty)$ , funcția putere $f (x) = x^{α}$ ia doar valori pozitive și se studiază complet: monotonia depinde doar de semnul lui $α$ — strict crescătoare pentru $α > 0$ , strict descrescătoare pentru $α < 0$ , constantă pentru $α = 0$ . Demonstrația trece prin raportul $t = \frac{x _{2}}{x _{1}} > 1$ și lema $t^{α} > 1$ pentru $α > 0$ .

Pentru $α \neq = 0$ , funcția este bijectivă pe $(0, + \infty)$ , cu inversa $f^{- 1} (y) = y^{1/ α}$ — de aceea ecuația $x^{α} = b$ , cu $b > 0$ , are exact o soluție pozitivă.

Compararea puterilor cu același exponent: la $α > 0$ ordinea bazelor se păstrează (baza mai mare dă puterea mai mare), la $α < 0$ se răstoarnă. Radicalii de ordine diferite se compară aducându-i la exponent comun — numitorul comun al exponenților lor de tip $1/ n$ — apoi comparând radicandele.

Toate graficele trec prin $(1, 1)$ ; pe $(1, + \infty)$ , exponentul mai mare urcă mai sus, pe $(0, 1)$ coboară mai jos. Greșeli frecvente: confuzia funcției putere cu cea exponențială (variabila stă în bază, nu la exponent), aplicarea regulii de comparare la exponenți diferiți fără a-i egaliza întâi, și uitarea răsturnării sensului la exponent negativ.

De reținut

$α > 0$ : crescătoare; $α < 0$ : descrescătoare
toate graficele trec prin $(1, 1)$
inversa lui $x^{α}$ este $y^{1/ α}$

Greșeala tipică

Se compară doi radicali de ordine diferite uitându-se doar la numerele de sub ei. Întâi se aduc la același ordin, prin exponenți cu numitor comun, și abia apoi se compară ce a rămas dedesubt.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $(0, + \infty)$ , funcția $f (x) = x^{α}$ este strict crescătoare dacă:
- a) $α > 0$
- b) $α = 0$
- c) pentru orice $α$
- d) $α < 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $α > 0$

Monotonia depinde doar de semnul exponentului: pozitiv înseamnă strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ .
Inversa funcției $f (x) = x^{α}$ (pe $(0, \infty)$ , $α \neq = 0$ ) este:
- a) $f^{- 1} (y) = α y$
- b) $f^{- 1} (y) = y^{1/ α}$
- c) $f^{- 1} (y) = y^{α}$
- d) $f^{- 1} (y) = y^{- α}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f^{- 1} (y) = y^{1/ α}$

Din bijectivitate, inversa funcției putere este tot o funcție putere, cu exponentul răsturnat: $y^{1/ α}$ .
Toate graficele funcțiilor putere (pe $(0, \infty)$ ) trec prin punctul:
- a) $(0, 0)$
- b) $(1, 0)$
- c) $(1, 1)$
- d) $(0, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(1, 1)$

$1^{α} = 1$ pentru orice $α$ , deci toate graficele funcțiilor putere trec prin $(1, 1)$ .

Întrebări conexe

Ce inversă are funcția putere pe intervalul numerelor strict pozitive?

Tot o funcție putere, cu exponentul răsturnat: dacă $f (x) = x^{α}$ , atunci inversa duce pe $y$ în $y^{1/ α}$ . Astfel ridicarea la pătrat are ca inversă radicalul, iar ridicarea la cub are ca inversă radicalul de ordinul trei.

De ce este funcția putere bijectivă pe intervalul numerelor strict pozitive?

Fiindcă, pentru $α$ nenul, ea este strict monotonă, deci nu ia de două ori aceeași valoare, și acoperă tot intervalul valorilor pozitive. De aici rezultă că ecuația $x^{α} = b$ are, pentru $b > 0$ , exact un răspuns pozitiv.

Ce se întâmplă cu ordinea bazelor la exponent negativ?

Se răstoarnă. Din $5 < 7$ rezultă $5^{- 2} > 7^{- 2}$ , fiindcă $\frac{1}{25}$ întrece $\frac{1}{49}$ . Explicația e simplă: exponentul negativ trimite numerele la numitor, iar un numitor mai mare dă o fracție mai mică.

Cum rezolv ecuația x la a treia egal 27 folosind funcția inversă?

Ridicarea la cub fiind bijectivă pe partea pozitivă a axei, aplici inversa ei: $x = 2 7^{1/3} = 3$ . Răspunsul este singurul pozitiv. Aceeași cale merge la orice exponent nenul, luând exponentul răsturnat.

Care este mai mare, radicalul de ordinul trei din 4 sau radicalul din 2?

Îi aduci la același ordin, cel mai mic multiplu comun al lui $3$ și $2$ fiind $6$ : $34 = 616$ și $2 = 68$ . Cum $16 > 8$ și ordinul este acum comun, rezultă $34 > 2$ .

Pe ce se sprijină demonstrația monotoniei funcției putere?

Pe raportul a două valori: pentru $x_{1} < x_{2}$ se notează $t = \frac{x _{2}}{x _{1}} > 1$ și se arată că $t^{α} > 1$ atunci când $α > 0$ . De aici rezultă că valoarea din $x_{2}$ o depășește pe cea din $x_{1}$ , deci funcția urcă.

Oamenii mai întreabă și: monotonia funcției putere · când crește și când scade funcția putere · graficul funcției x la alfa · de ce trec graficele prin punctul 1 și 1 · compararea radicalilor de ordine diferite