Cum citesc valorile de pe graficul unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Graficul și citirea lui

Graficul este mulțimea punctelor de forma $(x, f (x))$ , deci un punct îi aparține exact atunci când a doua coordonată este valoarea funcției în prima. Ca să citești $f (3)$ , pornești din $3$ pe axa orizontală, urci până la curbă și mergi apoi orizontal până pe axa verticală. Drumul invers, de la o valoare spre argumente, poate da mai multe răspunsuri deodată.

Graficul funcției $f$ este mulțimea tuturor punctelor de forma $(x, f (x))$ . Un punct $P (x_{P}, y_{P})$ e pe grafic exact atunci când $y_{P} = f (x_{P})$ — atât.

Așa se citește o valoare: pornești de la $x$ pe axa orizontală, urci (sau cobori) până întâlnești graficul, apoi mergi orizontal până pe $O y$ și citești. Asta e $f (x)$ .

Drumul invers rezolvă o ecuație: pentru $f (x) = b$ pornești de la $b$ pe axa verticală, mergi orizontal până întâlnești graficul și cobori pe $O x$ . Aici pot fi mai multe puncte de întâlnire — și atunci ecuația are mai multe soluții. Numărul de soluții se numără din ochi, nu se calculează.

Două lecturi apar în aproape orice problemă. Intersecțiile cu $O x$ sunt zerourile funcției, adică soluțiile ecuației $f (x) = 0$ . Intersecția cu $O y$ dă $f (0)$ , și e cel mult una, pentru că verticala $x = 0$ taie graficul o singură dată.

De altfel ăsta e și testul dreptei verticale: dacă o verticală taie desenul în două puncte, desenul nu e graficul niciunei funcții.

De reținut

$A (x_{0}, y_{0})$ este pe grafic dacă și numai dacă $y_{0} = f (x_{0})$
citirea pe verticală dă cel mult o valoare
intersecțiile cu axa orizontală sunt zerourile funcției

Greșeala tipică

Argumentul este căutat pe axa verticală, iar valoarea pe cea orizontală, așa că punctul $(4, 2)$ ajunge citit ca $f (2) = 4$ . Prima coordonată arată mereu ce introduci, a doua ce iese.

Exerciții din această mini-lecție

Un punct $P (x_{P}, y_{P})$ aparține graficului funcției $f$ dacă și numai dacă:
- a) $x_{P} = f (y_{P})$
- b) $y_{P} = f (x_{P})$
- c) $x_{P} + y_{P} = 0$
- d) $y_{P} = x_{P}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y_{P} = f (x_{P})$

Punctele graficului au forma $(x, f (x))$ : prima coordonată e ce pui în funcție, a doua e ce iese. Deci ordonata trebuie să fie valoarea funcției în abscisă: $y_{P} = f (x_{P})$ . Condiția $x_{P} = f (y_{P})$ inversează rolurile, iar $y_{P} = x_{P}$ descrie doar prima bisectoare.
Pe desen sunt marcate punctele $A (- 2, 1)$ , $B (0, 4)$ și $C (3, - 2)$ , de pe graficul funcției $f$ . Care dintre egalități este ADEVĂRATĂ?
- a) $f (1) = - 2$
- b) $f (0) = 4$
- c) $f (4) = 0$
- d) $f (- 2) = - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (0) = 4$

Punctul $B$ are abscisa $0$ și ordonata $4$ , deci $f (0) = 4$ . Egalitatea $f (4) = 0$ inversează coordonatele aceluiași punct, iar $f (- 2) = - 2$ amestecă abscisa lui $A$ cu ordonata lui $C$ — $A$ spune de fapt $f (- 2) = 1$ .
Graficul funcției $f$ taie axa $O x$ în punctele de abscise $- 3$ și $5$ , iar axa $O y$ în punctul de ordonată $- 15$ . Câte soluții are ecuația $f (x) = 0$ ?
- a) niciuna
- b) una singură
- c) două
- d) trei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) două

Soluțiile ecuației $f (x) = 0$ sunt chiar abscisele punctelor în care graficul taie axa $O x$ — aici sunt două: $- 3$ și $5$ . Informația despre $O y$ nu ajută la numărat: ea dă doar $f (0) = - 15$ .

Întrebări conexe

Poate un cerc să fie graficul unei funcții?

Nu, pentru că o verticală dusă prin interiorul lui îl taie în două puncte, deci un argument ar avea două valori. Cercul se poate scrie totuși ca reuniunea a două funcții, una pentru semicercul de sus și una pentru cel de jos.

De ce graficul taie axa verticală cel mult o dată?

Fiindcă verticala $x = 0$ este chiar axa, iar un argument poate avea o singură valoare. Dacă domeniul îl conține pe $0$ , intersecția există și este punctul $(0, f (0))$ ; dacă nu, graficul nu atinge deloc axa verticală.

Cum se vede pe grafic că o ecuație are două soluții?

Se numără punctele în care o dreaptă orizontală taie curba. Pentru $f (x) = b$ tragi orizontala la înălțimea $b$ : două intersecții înseamnă două soluții, niciuna înseamnă că ecuația nu are soluție. Numărul se vede din ochi, fără calcul.

Ce arată porțiunea de grafic aflată sub axa orizontală?

Că acolo funcția ia valori negative, fiindcă a doua coordonată a punctelor este mai mică decât zero. Porțiunea de deasupra axei arată valorile pozitive, iar punctele așezate chiar pe axă sunt zerourile funcției.

Cum desenez graficul dacă am doar formula?

Alegi câteva argumente, calculezi valorile și așezi punctele în plan. Dacă domeniul este un interval, unești punctele printr-o linie; dacă este o mulțime cu puține elemente, le lași separate. Cu cât alegi mai multe argumente, cu atât desenul iese mai fidel.

Ce se schimbă în grafic dacă adaug un număr la toate valorile?

Tot graficul urcă cu acel număr, fără să își schimbe forma. Adunând $3$ la fiecare valoare, fiecare punct se mută cu trei unități în sus. Dacă în schimb aduni un număr la argument, graficul se deplasează pe orizontală.

Oamenii mai întreabă și: cum citesc un grafic de funcție · graficul unei funcții · lectură grafică · cum aflu f de x de pe desen · puncte de pe graficul funcției