Se lucrează cu clasele $$[10,20)$$, $$[20,30)$$, $$[30,40)$$. În ce clasă intră valoarea $$20$$?

în $$[10,20)$$ și în $$[20,30)$$ deopotrivă

Care este diferența esențială dintre histogramă și diagrama cu bare?

în histogramă axa orizontală e o scală numerică neîntreruptă, iar dreptunghiurile sunt lipite; în diagrama cu bare axa poartă categorii, iar barele sunt separate

histogramă are întotdeauna mai puține clase decât diagrama cu bare

diagrama cu bare se folosește doar pentru date continue

histogramă nu are axă verticală

Ce este o histogramă?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Histograma: dreptunghiuri lipite

Histograma este graficul unui set de date grupate pe intervale: deasupra fiecărui interval se desenează un dreptunghi cu înălțimea egală cu frecvența lui. Dreptunghiurile se ating, fiindcă axa orizontală poartă o scală numerică neîntreruptă. Se folosește la caracteristici continue, precum timpul sau masa, unde aproape fiecare valoare apare o singură dată. Din ea citești intervalul cu frecvența cea mai mare și forma distribuției, dar valorile individuale se pierd prin grupare.

Pentru o caracteristică continuă (timp, masă, preț), un tabel de frecvențe pe valori individuale e inutil: aproape toate valorile sunt distincte. Soluția este gruparea pe clase — intervale de valori — scrise semideschis, $[a, b)$ , ca fiecare dată să intre în exact o clasă. Lățimea clasei este $h = b - a$ , iar centrul, $c = (a + b) /2$ . Numărul de clase se alege între $5$ și $10$ (orientativ $n$ ), iar lățimea rezultă din amplitudinea $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ împărțită la numărul de clase, rotunjită la un număr comod.

Histograma așază deasupra fiecărei clase un dreptunghi cu înălțimea egală cu frecvența ei; la clase de lățimi egale, aria e proporțională cu frecvența. Diferența esențială față de diagrama cu bare: dreptunghiurile histogramei sunt lipite, pentru că axa orizontală e o scală numerică neîntreruptă, fără „goluri" între clase, în timp ce barele stau separate, pe categorii fără continuitate. Testul rapid: dacă poți schimba două dreptunghiuri între ele fără să pierzi vreun sens, ai de fapt o diagramă cu bare, nu o histogramă.

Din histogramă citim clasa modală (dreptunghiul cel mai înalt) și forma distribuției — simetrică sau asimetrică —, deși valorile individuale se pierd prin grupare; de aceea datele brute se păstrează întotdeauna alături de tabelul grupat.

De reținut

intervale semideschise $[a, b)$
dreptunghiurile histogramei se ating
centrul intervalului: $\frac{a + b}{2}$

Greșeala tipică

Se lasă spații între dreptunghiuri, iar histograma devine diagramă cu bare. Dreptunghiurile trebuie să se atingă, fiindcă intervalele vecine au un capăt comun pe axa numerelor.

Exerciții din această mini-lecție

Se lucrează cu clasele $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ . În ce clasă intră valoarea $20$ ?
- a) $[20, 30)$
- b) $[10, 20)$
- c) $[30, 40)$
- d) în $[10, 20)$ și în $[20, 30)$ deopotrivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[20, 30)$

Convenția semideschisă $[a, b)$ include capătul din stânga și exclude capătul din dreapta, deci $20$ aparține lui $[20, 30)$ , nu lui $[10, 20)$ .
Care este diferența esențială dintre histogramă și diagrama cu bare?
- a) histogramă are întotdeauna mai puține clase decât diagrama cu bare
- b) în histogramă axa orizontală e o scală numerică neîntreruptă, iar dreptunghiurile sunt lipite; în diagrama cu bare axa poartă categorii, iar barele sunt separate
- c) diagrama cu bare se folosește doar pentru date continue
- d) histogramă nu are axă verticală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) în histogramă axa orizontală e o scală numerică neîntreruptă, iar dreptunghiurile sunt lipite; în diagrama cu bare axa poartă categorii, iar barele sunt separate

Dreptunghiurile histogramei se ating pentru că intervalele de clasă se succedă fără întreruperi pe axa numerică; barele stau separate, pentru că între categorii nu există nimic.
Pentru un set cu $n = 64$ de date, câte clase recomandă regula orientativă $n$ ?
- a) $6$
- b) $7$
- c) $8$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8$

$64 = 8$ , așadar orientarea recomandă $8$ clase — se încadrează perfect în intervalul recomandat $5$ – $10$ .

Întrebări conexe

De ce se scriu intervalele sub forma $[a, b)$ ?

Ca fiecare dată să intre în exact un interval. Cu capătul din dreapta exclus, valoarea $20$ aparține doar intervalului $[20, 30)$ , nu și celui dinainte. Scrierea cu ambele capete închise ar număra de două ori valorile aflate pe graniță.

Cum calculez centrul unui interval de grupare?

Faci media capetelor: pentru $[10, 20)$ centrul este $15$ . Această valoare înlocuiește toate datele din interval atunci când calculezi media unui set grupat și tot ea se folosește ca abscisă la poligonul frecvențelor.

Când nu are rost gruparea datelor pe intervale?

Când caracteristica ia puține valori distincte, cum sunt notele de la $4$ la $10$ . Acolo tabelul pe valori individuale spune mai mult, iar gruparea ar ascunde tocmai informația utilă. Gruparea este pentru date continue, cu multe valori apropiate.

Ce citesc despre forma distribuției dintr-o histogramă?

Vezi dacă datele sunt așezate simetric în jurul unei zone centrale sau dacă se îngrămădesc într-o parte, cu o coadă lungă în cealaltă. Se observă și dacă apar două zone dese, semn că setul amestecă două grupuri diferite.

Ce se întâmplă dacă intervalele de grupare se suprapun?

Valorile de la graniță sunt numărate de două ori, iar suma frecvențelor depășește numărul de date. Verificarea sumei prinde imediat problema. Remediul este rescrierea intervalelor cu capătul din dreapta exclus, astfel încât ele să nu aibă puncte comune.

Se poate desena o histogramă cu intervale de lățimi diferite?

Se poate, dar atunci înălțimea nu mai este frecvența, ci frecvența împărțită la lățime, ca aria dreptunghiului să rămână proporțională cu numărul de date. La liceu se lucrează aproape întotdeauna cu intervale de aceeași lățime, unde problema nu apare.

Oamenii mai întreabă și: histogramă · ce este o histogramă · diferența dintre histogramă și diagramă cu bare · gruparea datelor pe intervale