Cât este suma coeficienților binomiali?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Identități cu coeficienți binomiali

Este $2^{n}$ , unde $n$ este exponentul binomului: $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ . Rezultatul se obține punând amândouă literele egale cu $1$ în formula lui Newton, fiindcă atunci $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ . Are și o citire combinatorică: numeri toate submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente, grupate după câte elemente au. Suma alternantă, cu semne care se schimbă, dă în schimb $0$ pentru orice $n$ mai mare sau egal cu unu.

Formula binomului lui Newton este o identitate: rămâne adevărată pentru orice $a$ și $b$ , deci poți înlocui literele cu numere alese isteț, ca să obții relații noi între combinări. Cu $a = b = 1$ : $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ , deci $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ — numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente. Cu $a = 1$ , $b = - 1$ : $(1 - 1)^{n} = 0$ (pentru $n \geq 1$ ), deci suma alternantă $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots = 0$ ; de aici, coeficienții de rang par și cei de rang impar au aceeași sumă, $2^{n - 1}$ fiecare.

Alte particularizări: cu $a = 1$ , $b = t$ , obții $\sum C_{n}^{k} t^{k} = (1 + t)^{n}$ — dacă în sumă $C_{n}^{k}$ e înmulțit cu $t^{k}$ , recunoști direct rezultatul. Nu confunda «suma coeficienților binomiali» ( $2^{n}$ , se obține punând $a = b = 1$ doar la combinări) cu «suma coeficienților dezvoltării» (se obține punând $x = 1$ în tot binomul, inclusiv în factorii numerici).

O identitate utilă suplimentară: $k \cdot C_{n}^{k} = n \cdot C_{n - 1}^{k - 1}$ , din care rezultă $\sum k C_{n}^{k} = n \cdot 2^{n - 1}$ .

De reținut

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$
$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots = 0$ , pentru $n \geq 1$
rang par și rang impar: câte $2^{n - 1}$

Greșeala tipică

Se confundă suma coeficienților binomiali cu suma coeficienților dezvoltării. Prima se obține punând amândouă literele egale cu $1$ doar în combinări, a doua punând variabila egală cu $1$ în tot binomul, cu factori numerici cu tot.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $C_{8}^{0} + C_{8}^{1} + \dots + C_{8}^{8}$ .
- a) $256$
- b) $128$
- c) $64$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $256$

Suma tuturor coeficienților binomiali de ordin $n$ este $2^{n}$ : pentru $n = 8$ , $2^{8} = 256$ .
Calculați suma coeficienților de rang impar din linia $9$ : $C_{9}^{1} + C_{9}^{3} + C_{9}^{5} + C_{9}^{7} + C_{9}^{9}$ .
- a) $512$
- b) $256$
- c) $128$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $256$

Coeficienții de indice par și cei de indice impar au sume egale, fiecare $2^{n - 1}$ : pentru $n = 9$ , $2^{8} = 256$ .
Recunoașteți suma $C_{5}^{0} + 3 C_{5}^{1} + 9 C_{5}^{2} + 27 C_{5}^{3} + 81 C_{5}^{4} + 243 C_{5}^{5}$ .
- a) $2^{5} = 32$
- b) $3^{5} = 243$
- c) $4^{5} = 1024$
- d) $5^{4} = 625$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4^{5} = 1024$

Fiecare $C_{5}^{k}$ este înmulțit cu $3^{k}$ : suma este dezvoltarea lui $(1 + 3)^{5} = 4^{5} = 1024$ .

Întrebări conexe

Ce obțin dacă înlocuiesc a și b cu 1 în binomul lui Newton?

Toate puterile devin $1$ , deci în dreapta rămâne doar suma coeficienților binomiali, iar în stânga apare $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ . Egalând cele două părți obții identitatea căutată. Alegând alte valori pentru litere se obțin, la fel de ușor, alte relații între combinări.

Cum recunosc o identitate binomială într-un exercițiu?

Cauți o sumă de combinări cu același număr de jos și cu cel de sus care se plimbă, eventual înmulțite cu puteri. Dacă factorii sunt puteri ale unui număr, dezvoltarea vine dintr-un binom cu acel număr pe una dintre poziții; dacă apar semne care se schimbă, una dintre litere a fost luată negativă.

Ce sumă recunosc în C de 5 luate câte k, înmulțit cu 3 la puterea k?

Este dezvoltarea lui $(1 + 3)^{5}$ , obținută punând prima literă egală cu $1$ și pe a doua egală cu $3$ . Rezultatul este $4^{5} = 1024$ . Ori de câte ori fiecare combinare apare înmulțită cu o putere a aceluiași număr, recunoști o astfel de particularizare.

Ce obțin punând a egal cu 1 și b egal cu minus 1?

Membrul stâng devine $(1 - 1)^{n} = 0$ pentru orice $n$ cel puțin egal cu unu, iar cel drept devine suma cu semne schimbate a coeficienților binomiali. Rezultă că această sumă se anulează, relație folosită apoi ca să arăți că cele două grupe de coeficienți au totaluri egale.

Cât face suma produselor k înmulțit cu C de 6 luate câte k, pentru k de la 1 la 6?

Folosești identitatea $k \cdot C_{n}^{k} = n \cdot C_{n - 1}^{k - 1}$ , care scoate factorul $n$ în fața sumei. Rămâne suma tuturor combinărilor de ordin $n - 1$ , adică $2^{n - 1}$ , deci rezultatul este $6 \cdot 2^{5} = 192$ . Verificarea directă, prin $6 + 30 + 60 + 60 + 30 + 6$ , dă tot $192$ .

De ce au coeficienții de rang par și cei de rang impar aceeași sumă?

Din suma alternantă, care este zero: diferența celor două grupe se anulează. Cum totalul lor este $2^{n}$ , fiecare grupă adună exact jumătate, adică $2^{n - 1}$ . Concluzia are și o citire combinatorică: tot atâtea submulțimi au număr par de elemente câte au număr impar.

Oamenii mai întreabă și: suma coeficienților binomiali · de ce suma este 2 la puterea n · suma alternantă a combinărilor · câte submulțimi are o mulțime cu n elemente · identități cu combinări