Ce spune teorema restului?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Restul fără să împarți: f(a)

Restul împărțirii polinomului $f$ la $X - a$ este chiar valoarea $f (a)$ , deci un simplu număr. Demonstrația încape într-un rând: din $f = (X - a) q + r$ , punând $X = a$ , primul termen dispare și rămâne $f (a) = r$ . La $f = X^{3} - 2 X + 5$ împărțit la $X - 2$ , restul este $f (2) = 8 - 4 + 5 = 9$ , fără să faci împărțirea. Un rest de grad $1$ sau mai mare ar contrazice condiția din teorema împărțirii, așa că el iese constant.

Când împărțitorul are forma $X - a$ , restul este întotdeauna o constantă — pentru că gradul lui trebuie să fie strict mai mic decât $1$ . Teorema restului spune că această constantă este chiar valoarea polinomului în $a$ : restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ . Demonstrația încape într-un rând: din $f = (X - a) q + r$ , substituind $X = a$ , factorul $(X - a)$ se anulează și rămâne $f (a) = r$ .

Aplicarea practică transformă o împărțire întreagă într-o simplă evaluare. La împărțitorul $X + a$ , îl rescrii ca $X - (- a)$ și calculezi $f (- a)$ — semnul este greșeala numărul unu a acestei teme. La $a X + b$ , restul este $f (- \frac{b}{a})$ .

Pentru un împărțitor de forma $(X - a) (X - b)$ , cu $a \neq = b$ , restul are gradul cel mult $1$ , deci se scrie $m X + n$ ; substituind pe rând $X = a$ și $X = b$ obții un sistem de două ecuații, fără nicio împărțire efectivă. Aceeași idee servește la determinarea parametrilor: orice condiție asupra restului se traduce printr-o egalitate de tip $f (ceva) = ceva$ . Teorema dă însă doar restul — când problema cere și câtul, rămâi la algoritmul clasic sau la schema lui Horner.

De reținut

restul la $X - a$ este $f (a)$
la $X + a$ se evaluează în $- a$
restul la $a X + b$ este $f (- \frac{b}{a})$

Greșeala tipică

La împărțitorul $X + 2$ se calculează $f (2)$ în loc de $f (- 2)$ . Rescrie mereu împărțitorul sub forma $X - (- 2)$ și citește din el numărul în care evaluezi.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 3 X^{2} + 2 X - 5$ la $X - 4$ .
- a) $19$
- b) $- 19$
- c) $21$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $19$

Conform teoremei restului, restul este $f (4) = 64 - 48 + 8 - 5 = 19$ .
Determinați restul împărțirii polinomului $f = 2 X^{4} - X^{2} + 3 X - 1$ la $X + 2$ .
- a) $- 21$
- b) $21$
- c) $33$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $21$

Scriem $X + 2 = X - (- 2)$ , deci restul este $f (- 2) = 2 \cdot 16 - 4 - 6 - 1 = 32 - 4 - 6 - 1 = 21$ . Dacă ai substituit din greșeală $X = 2$ , ai fi obținut $f (2) = 2 \cdot 16 - 4 + 6 - 1 = 33$ — greșeala clasică de semn.
Determinați restul împărțirii polinomului $f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + X - 4$ la $3 X - 2$ .
- a) $- \frac{8}{3}$
- b) $\frac{10}{3}$
- c) $- \frac{10}{3}$
- d) $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{10}{3}$

Din $3 X - 2 = 0$ obținem $X = \frac{2}{3}$ , deci restul este $f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 4 = \frac{8}{9} - \frac{8}{9} + \frac{2}{3} - 4 = - \frac{10}{3}$ .

Întrebări conexe

Cum aflu restul împărțirii la $2 X + 1$ ?

Rescrii împărțitorul ca $2 (X + \frac{1}{2})$ , adică rădăcina lui este $- \frac{1}{2}$ , deci restul este $f (- \frac{1}{2})$ . Pentru $f = 4 X^{2} - 3$ obții $4 \cdot \frac{1}{4} - 3 = - 2$ . Constanta $2$ scoasă în față schimbă câtul, dar nu și restul.

Cum se demonstrează teorema restului?

Pleci de la scrierea asigurată de teorema împărțirii cu rest, $f = (X - a) q + r$ , în care $r$ este constant fiindcă împărțitorul are gradul $1$ . Înlocuiești nedeterminata cu $a$ : paranteza se anulează, produsul dispare și rămâne exact egalitatea căutată între valoarea polinomului și rest.

Ce legătură are suma coeficienților cu restul la $X - 1$ ?

Sunt același număr. Evaluarea în $1$ înseamnă tocmai adunarea coeficienților, iar restul împărțirii la $X - 1$ este valoarea în $1$ . Pentru $f = X^{3} + 2 X - 4$ suma dă $1 + 2 - 4 = - 1$ , deci acesta este restul, fără niciun calcul de împărțire.

Cum aflu restul împărțirii lui $X^{100}$ la $X - 1$ ?

Restul este valoarea polinomului în $1$ , adică $1^{100} = 1$ . Nu ai nevoie de nicio împărțire, oricât de mare ar fi exponentul. Cu același raționament, restul împărțirii aceluiași polinom la $X + 1$ este $(- 1)^{100} = 1$ , fiindcă exponentul este par.

La ce folosește teorema restului dacă am schema lui Horner?

Teorema dă restul dintr-un singur calcul, chiar și când nu ai nevoie de cât, și se folosește în demonstrații, unde nu se scrie niciun tabel. Schema lui Horner devine utilă atunci când problema cere și câtul sau când vrei să cobori gradul polinomului.

Ce rest dă împărțirea unui polinom la $X$ ?

Împărțitorul $X$ se citește ca $X - 0$ , deci restul este $f (0)$ , adică termenul liber. Un polinom se divide cu nedeterminata exact atunci când termenul liber lipsește, iar în acest caz nedeterminata se poate da factor comun în toată scrierea.

Oamenii mai întreabă și: teorema restului la polinoame · restul împărțirii la X minus a · cum aflu restul fără să împart · restul este f(a)