Calculați $$\dfrac{1}{2+i}$$.

$$\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i$$

$$\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}i$$

$$-\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i$$

$$\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i$$

Cum scap de i de la numitor?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Împărțirea numerelor complexe

Amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Produsul dintre un număr și conjugatul lui este real, $(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}$ , deci numitorul devine un număr obișnuit, iar numărătorul se calculează printr-o înmulțire simplă. De exemplu, $\frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ . La final împarți pe rând cei doi termeni de sus la numitorul real găsit. Controlul se face înmulțind rezultatul cu împărțitorul.

Împărțirea la un număr complex se face prin amplificare cu conjugatul numitorului: numitorul devine real, $z_{2} \overset{z_{2}}{ˉ} = c^{2} + d^{2}$ , iar numărătorul se calculează printr-o înmulțire obișnuită.

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2} ˉ}{c ^{2} + d ^{2}}, z_{2} = c + d i \neq = 0.$

Orice număr complex nenul are un invers: $\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{a ^{2} + b ^{2}}$ ; cazul de reținut pe de rost este $\frac{1}{i} = - i$ (verificare: $i \cdot (- i) = - i^{2} = 1$ ).

Algoritmul în trei pași: amplifici cu conjugatul numitorului, efectuezi înmulțirea de la numărător, apoi separi partea reală de cea imaginară, împărțind fiecare la numitorul real. Orice împărțire se verifică înmulțind înapoi: câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să dea deîmpărțitul.

Ecuațiile de tipul $a z = b$ se rezolvă exact ca peste $R$ : $z = b / a$ , calculat prin amplificare. Conjugatul câtului este câtul conjugatelor: $\overline{(\frac{z _{1}}{z _{2}})} = \frac{z _{1} ˉ}{z _{2} ˉ}$ . La întrebările „pentru ce $m$ real este câtul real (sau pur imaginar)”, aduci câtul la formă algebrică și pui condiția pe partea potrivită — pe partea imaginară pentru real, pe partea reală pentru pur imaginar, fără a uita condiția suplimentară de nenulitate în al doilea caz.

De reținut

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2} ˉ}{c ^{2} + d ^{2}}$ , cu $z_{2} = c + d i \neq = 0$
$\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{a ^{2} + b ^{2}}$ și $\frac{1}{i} = - i$
controlul: câtul înmulțit cu împărțitorul dă deîmpărțitul

Greșeala tipică

Se amplifică cu numitorul însuși, nu cu conjugatul lui. Astfel numitorul rămâne un număr complex, iar fracția nu ajunge la forma cerută, cu părțile despărțite.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $\frac{1}{2 + i}$ .
- a) $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$
- b) $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$
- c) $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$
- d) $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$

$\frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{4 + 1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ . Verificare: $(2 + i) (\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i) = \frac{4 - 2 i + 2 i + 1}{5} = 1$ ✓.
Efectuați $\frac{7 + i}{1 - 2 i}$ .
- a) $1 - 3 i$
- b) $1 + 3 i$
- c) $5 + 15 i$
- d) $3 + i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1 + 3 i$

Amplificăm cu $1 + 2 i$ : $\frac{( 7 + i ) ( 1 + 2 i )}{1 + 4} = \frac{7 + 14 i + i - 2}{5} = \frac{5 + 15 i}{5} = 1 + 3 i$ . Verificare: $(1 + 3 i) (1 - 2 i) = 7 + i$ ✓.
Cât este $\frac{1}{i ^{3}}$ ?
- a) $1$
- b) $- i$
- c) $i$
- d) $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $i$

$i^{3} = - i$ , deci $\frac{1}{i ^{3}} = \frac{1}{- i} = - \frac{1}{i} = - (- i) = i$ .

Întrebări conexe

Cât face 1 supra 2 plus i?

Amplifici cu $2 - i$ : numitorul devine $4 + 1 = 5$ , iar numărătorul rămâne $2 - i$ . Rezultatul este $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ . Verificare: înmulțind cu $2 + i$ obții $\frac{4 - 2 i + 2 i + 1}{5}$ , adică $1$ , exact numărătorul de plecare.

Cât face 7 plus i, împărțit la 1 minus 2i?

Amplifici fracția cu conjugatul numitorului, adică cu $1 + 2 i$ . Numitorul devine $1 + 4 = 5$ , iar numărătorul se calculează desfăcând parantezele: $(7 + i) (1 + 2 i) = 7 + 14 i + i - 2 = 5 + 15 i$ . Împărțind fiecare parte la $5$ , obții $1 + 3 i$ . Verificarea o confirmă, fiindcă $(1 + 3 i) (1 - 2 i)$ dă într-adevăr $7 + i$ .

Ce se întâmplă dacă numitorul este un număr real?

Nu mai ai nevoie de amplificare: împarți direct fiecare parte la el. Din $\frac{6 + 8 i}{2}$ obții $3 + 4 i$ . Amplificarea cu conjugatul devine necesară doar atunci când numitorul are și parte imaginară, adică atunci când $i$ apare jos.

Ce soluție are ecuația 3 minus i, înmulțit cu z, egal 10i?

Împărțind ambii membri la $3 - i$ , obții $z = \frac{10 i}{3 - i}$ . Amplifici cu conjugatul $3 + i$ : numitorul devine $9 + 1 = 10$ , iar numărătorul $10 i (3 + i) = 30 i - 10$ . Simplificând prin $10$ , rezultă $z = - 1 + 3 i$ . Verificarea confirmă, fiindcă $(3 - i) (- 1 + 3 i) = - 3 + 9 i + i + 3 = 10 i$ , adică exact membrul drept al ecuației.

Pentru ce valoare a lui m este real câtul dintre m plus 2i și 1 plus i?

Amplifici cu conjugatul numitorului, adică $1 - i$ , și obții $\frac{( m + 2 ) + ( 2 - m ) i}{2}$ . Câtul este real când partea lui imaginară se anulează, deci $2 - m = 0$ , adică $m = 2$ . Pentru această valoare fracția devine numărul real $2$ , ceea ce confirmă rezultatul.

Care este partea reală a câtului dintre 4 plus 8i și 2 minus 2i?

Amplifici cu conjugatul $2 + 2 i$ : numitorul devine $4 + 4 = 8$ , iar numărătorul $(4 + 8 i) (2 + 2 i) = 8 + 8 i + 16 i - 16 = - 8 + 24 i$ . Împărțind fiecare parte la $8$ , câtul este $- 1 + 3 i$ , deci partea reală cerută este $- 1$ . Simplificarea prin $2$ la început ar fi scurtat calculul.

Oamenii mai întreabă și: împărțirea numerelor complexe · amplificarea cu conjugatul numitorului · cât face 1 supra i · inversul unui număr complex · raționalizarea unui numitor complex