Ce sunt câtul și restul la polinoame?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Împărțirea cu rest a polinoamelor

Pentru orice polinoame $f$ și $g$ , cu $g$ nenul, există o singură pereche $(q, r)$ care verifică $f = g q + r$ , restul fiind nul sau de grad strict mai mic decât al împărțitorului. Câtul are gradul egal cu diferența gradelor. La $f = X^{3} - 1$ și $g = X^{2} + 1$ ies $q = X$ și $r = - X - 1$ , fiindcă $X (X^{2} + 1) = X^{3} + X$ , iar $X^{3} - 1 - (X^{3} + X) = - X - 1$ . Verificarea se face înmulțind înapoi.

Teorema împărțirii cu rest: pentru orice $f, g \in C [X]$ cu $g \neq = 0$ , există și sunt unice $q, r$ astfel încât $f = g \cdot q + r$ , cu $r = 0$ sau $grad r < grad g$ . Condiția asupra restului este obligatorie — fără ea, aceeași egalitate $f = g q + r$ s-ar putea scrie în infinit de multe feluri, prin $q - h$ și $r + g h$ pentru orice $h$ .

Unicitatea se demonstrează scăzând două scrieri ipotetice: $g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$ ; un multiplu nenul al lui $g$ nu poate avea gradul mai mic decât $g$ , deci $q_{1} = q_{2}$ și $r_{1} = r_{2}$ . Existența se demonstrează prin inducție după gradul lui $f$ , iar demonstrația este chiar algoritmul de calcul: la fiecare pas se scade din $f$ un multiplu de $g$ ales să anuleze termenul dominant.

Din grade: dacă $grad f \geq grad g$ , atunci $grad q = grad f - grad g$ și $grad r \leq grad g - 1$ . Cazuri speciale: dacă $grad f < grad g$ , atunci $q = 0$ și $r = f$ ; împărțirea la o constantă nenulă dă întotdeauna rest $0$ .

Verificarea oricărei împărțiri: înmulțești $g \cdot q$ , aduni $r$ , și trebuie să obții exact $f$ — pas obligatoriu, nu opțional.

De reținut

$f = g q + r$ , cu $r = 0$ sau $grad r < grad g$
$grad q = grad f - grad g$
proba: $g q + r$ trebuie să redea $f$

Greșeala tipică

Se verifică doar egalitatea $f = g q + r$ și se uită condiția asupra gradului restului. O egalitate adevărată poate să nu fie împărțirea cu rest; ambele cerințe se scriu de fiecare dată.

Exerciții din această mini-lecție

La împărțirea unui polinom $f$ de gradul $8$ la un polinom $g$ de gradul $3$ , ce grad are câtul?
- a) $5$
- b) $11$
- c) $3$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

$grad q = grad f - grad g = 8 - 3 = 5$ .
La împărțirea unui polinom $f$ la $g = X^{2} - 5$ , care este gradul maxim posibil al restului?
- a) $2$
- b) $1$
- c) $0$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1$

Condiția cere $grad r < grad g = 2$ , deci gradul maxim posibil al restului (nenul) este $1$ .
La împărțirea unui polinom $f$ la o constantă nenulă $c$ , care este restul?
- a) depinde de $f$
- b) întotdeauna $c$
- c) întotdeauna $0$
- d) nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) întotdeauna $0$

Cum $grad g = 0$ , condiția $grad r < 0$ e imposibilă pentru un rest nenul, deci restul trebuie să fie $0$ : împărțirea la o constantă nenulă e mereu exactă.

Întrebări conexe

De ce sunt câtul și restul determinate în mod unic?

Presupui două scrieri și le scazi: rezultă $g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$ . Membrul stâng, dacă nu este nul, are gradul cel puțin egal cu al lui $g$ , în timp ce membrul drept are gradul mai mic. Singura ieșire este ca ambele să fie nule, deci $q_{1} = q_{2}$ și $r_{1} = r_{2}$ .

Se schimbă câtul și restul dacă înmulțesc împărțitorul cu un număr?

Restul rămâne același, dar câtul se împarte la acel număr. Din $f = g q + r$ rezultă $f = (c g) \cdot \frac{q}{c} + r$ , iar condiția asupra gradului restului nu se atinge, fiindcă înmulțirea cu o constantă nenulă nu schimbă gradul împărțitorului.

Ce se obține împărțind un polinom la el însuși?

Câtul iese constanta $1$ , iar restul polinomul nul, fiindcă scrierea $f = f \cdot 1 + 0$ îndeplinește amândouă cerințele teoremei. Unicitatea perechii garantează că nu există altă variantă, deci orice polinom nenul se divide cu sine.

Cum reconstitui deîmpărțitul din cât, împărțitor și rest?

Înmulțești câtul cu împărțitorul și adaugi restul, adică refaci egalitatea $f = g q + r$ . Cu $g = X - 2$ , $q = X + 3$ și $r = 4$ obții $(X - 2) (X + 3) + 4 = X^{2} + X - 6 + 4 = X^{2} + X - 2$ . Aceeași operație este și proba oricărei împărțiri efectuate, iar dacă nu regăsești deîmpărțitul, undeva s-a strecurat o greșeală de semn.

Se poate împărți un polinom la polinomul nul?

Nu. Teorema cere explicit ca împărțitorul să fie diferit de polinomul nul, exact cum la numere nu se împarte la zero. Fără această ipoteză, produsul $g q$ ar fi mereu nul, iar restul ar trebui să fie chiar $f$ , fără nicio condiție care să îl limiteze.

Ce legătură are teorema cu împărțirea numerelor naturale?

Este aceeași idee, cu gradul în locul mărimii: la numere restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul, la polinoame gradul restului trebuie să fie mai mic decât gradul împărțitorului. În ambele cazuri, condiția asupra restului este cea care face rezultatul să fie singurul posibil.

Oamenii mai întreabă și: teorema împărțirii cu rest la polinoame · câtul și restul a două polinoame · împărțirea cu rest a polinoamelor · ce condiție are restul la polinoame