Pentru inecuația $$a^{f(x)}\le a^{g(x)}$$ cu $$a>1$$, la echivalarea în $$f(x)\le g(x)$$, capătul unde $$f(x)=g(x)$$:

aparține soluției (inegalitate cu egal)

nu aparține niciodată soluției

Cum rezolv o inecuație exponențială?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Inecuații exponențiale

Aduci ambii membri la aceeași bază, apoi treci la exponenți, cu discuția după bază scrisă limpede. La o bază mai mare decât $1$ sensul inegalității rămâne același; la una cuprinsă între $0$ și $1$ sensul se întoarce. De exemplu, $2^{x} \leq 16$ dă $x \leq 4$ , iar $(\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{3}$ dă $x > 3$ . Mulțimea găsită se notează cu intervale, închise la capete doar când semnul admite egalitatea.

Trecerea de la $a^{f (x)}$ la o comparație de exponenți se face prin monotonia funcției exponențiale, iar aceasta depinde de bază — nu ai voie s-o sari niciodată. Baza decide sensul: dacă $a > 1$ , $a^{u} < a^{v} ⟺ u < v$ (sensul se păstrează); dacă $0 < a < 1$ , $a^{u} < a^{v} ⟺ u > v$ (sensul se schimbă).

Primul pas este întotdeauna aducerea la aceeași bază; abia apoi se compară exponenții, cu discuția după bază scrisă explicit în rezolvare.

Cum $a^{x} > 0$ pentru orice $x$ , inecuațiile de tipul $a^{f (x)} > b$ cu $b \leq 0$ au soluția $R$ (întotdeauna adevărate), iar cele de tipul $a^{f (x)} < b$ cu $b \leq 0$ nu au soluții.

La substituție ( $t = a^{x}$ , $t > 0$ ), rezolvi întâi inecuația în $t$ , apoi revii la $x$ — și abia atunci faci discuția după bază, care poate schimba sensul inegalităților. Soluția finală se scrie ca interval sau reuniune de intervale, cu capete închise la $\leq, \geq$ și deschise la $<, >$ . Greșeli frecvente: uitarea răsturnării sensului la bază subunitară, compararea exponenților fără bază comună și, la substituție, revenirea la $x$ fără discuția după bază — pas care poate inversa ambele inegalități.

De reținut

$a > 1$ : $a^{u} < a^{v} ⟺ u < v$
$0 < a < 1$ : $a^{u} < a^{v} ⟺ u > v$
$a^{f (x)} > b$ cu $b \leq 0$ are soluția $R$

Greșeala tipică

Se compară direct exponenții a două puteri cu baze diferite. Pasul cere aceeași bază; altfel monotonia nu se poate invoca, iar comparația nu are niciun temei.

Exerciții din această mini-lecție

Inecuația $2^{f (x)} < - 3$ are ca mulțime de soluții:
- a) $(0, \infty)$
- b) depinde de $f (x)$
- c) mulțimea vidă
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) mulțimea vidă

Cum $2^{f (x)} > 0$ întotdeauna, el nu poate fi mai mic decât $- 3$ pentru niciun $x$ : soluția este $\emptyset$ .
Pentru inecuația $a^{f (x)} \leq a^{g (x)}$ cu $a > 1$ , la echivalarea în $f (x) \leq g (x)$ , capătul unde $f (x) = g (x)$ :
- a) nu aparține niciodată soluției
- b) aparține doar dacă $a < 1$
- c) nu se poate ști
- d) aparține soluției (inegalitate cu egal)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) aparține soluției (inegalitate cu egal)

Inecuația $\leq$ păstrează egalitatea printre soluții, deci punctul unde $f (x) = g (x)$ face parte din mulțimea soluțiilor.

Întrebări conexe

Ce soluție are o inecuație exponențială comparată cu un număr negativ?

Depinde de sens. Cum $a^{f (x)}$ rămâne mereu pozitiv, cerința de a fi mai mare decât un număr negativ este adevărată pentru orice $x$ , deci soluția este $R$ . Cerința de a fi mai mic decât un număr negativ nu se împlinește niciodată, deci mulțimea soluțiilor este vidă.

Care este cea mai mare valoare întreagă care verifică 2 la x mai mic sau egal cu 16?

Scrii $16 = 2^{4}$ , iar baza fiind supraunitară sensul se păstrează: $x \leq 4$ . Cea mai mare valoare întreagă acceptată este $4$ , pentru care cei doi membri devin egali. Semnul cu egalitate lasă capătul în mulțimea soluțiilor.

De ce se scrie explicit discuția după bază la inecuații exponențiale?

Pentru că trecerea de la puteri la exponenți se sprijină pe monotonie, iar aceasta depinde de bază. Fără discuție, pasul rămâne nejustificat, iar la o bază subunitară răspunsul iese chiar întors. Baremul cere ca motivul să apară scris.

Care este cea mai mică valoare întreagă care verifică o doime la x mai mic decât o doime la a treia?

Baza $\frac{1}{2}$ fiind subunitară, sensul se întoarce și rămâne $x > 3$ . Cea mai mică valoare întreagă strict mai mare decât $3$ este $4$ . Verificare: $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ chiar este sub $\frac{1}{8}$ .

Ce fac dacă necunoscuta apare și la bază?

Pui întâi condițiile de existență: baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de $1$ . Apoi discuți separat cazurile $0 < a < 1$ și $a > 1$ , fiindcă sensul inegalității nu este același. La final reunești soluțiile găsite pe fiecare caz, păstrând numai valorile admise.

Ce ordine urmez la o inecuație exponențială rezolvată prin substituție?

Notezi $t = a^{x}$ cu $t > 0$ , rezolvi inecuația în $t$ , apoi te întorci la $x$ . Discuția după bază se face abia la întoarcere, fiindcă acolo se poate schimba sensul. Grăbind pasul, riști să scrii intervalul exact pe dos.

Oamenii mai întreabă și: inecuații exponențiale · când se schimbă sensul inegalității la exponențiale · rezolvarea inecuațiilor cu puteri · inecuație cu bază subunitară · discuția după bază