Rezolvați inecuația $$\log_{1/3} x > 2$$.

$$\left(0,\dfrac{1}{9}\right)$$

$$\left(\dfrac{1}{9},\infty\right)$$

Cum rezolv o inecuație logaritmică?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Inecuații logaritmice

La orice inecuație cu logaritmi ai de rezolvat două lucruri deodată: condițiile de existență și inegalitatea transformată, iar răspunsul este partea lor comună. Trecerea depinde de bază: pentru $a > 1$ sensul rămâne, deci $lo g_{a} x < b$ dă $0 < x < a^{b}$ ; pentru $0 < a < 1$ sensul se întoarce, deci $lo g_{a} x < b$ dă $x > a^{b}$ . De exemplu, $lo g_{2} x < 3$ are soluția $(0, 8)$ . Marchezi totul pe aceeași axă și citești intersecția.

La o inecuație logaritmică rezolvi mereu un sistem: condițiile de existență plus inegalitatea transformată, iar răspunsul este intersecția lor. Regula fundamentală, cu discuția după bază: pentru $a > 1$ , $lo g_{a} x < b ⟺ 0 < x < a^{b}$ (sensul se păstrează); pentru $0 < a < 1$ , $lo g_{a} x < b ⟺ x > a^{b}$ (sensul se schimbă).

Pentru doi logaritmi în aceeași bază, $lo g_{a} f (x) < lo g_{a} g (x)$ : dacă $a > 1$ , echivalent cu $f (x) > 0$ și $f (x) < g (x)$ ; dacă $0 < a < 1$ , echivalent cu $g (x) > 0$ și $f (x) > g (x)$ . La substituția $t = lo g_{a} x$ , rezolvi întâi inecuația în $t$ , iar abia la revenire aplici discuția după bază — acolo se pierde sensul dacă te grăbești. Când baza conține necunoscuta, se discută separat cazurile $a > 1$ și $0 < a < 1$ .

Metoda de lucru sigură: scrii condițiile de existență pe o axă, rezolvi inegalitatea și o marchezi pe aceeași axă, apoi citești intersecția — mai ales când condiția de existență e o reuniune de intervale, unde intersecția «din minte» duce aproape sigur la eroare.

De reținut

$a > 1$ : $lo g_{a} x < b ⟺ 0 < x < a^{b}$
$0 < a < 1$ : $lo g_{a} x < b ⟺ x > a^{b}$
răspunsul = condiții de existență $\cap$ inegalitate

Greșeala tipică

Se compară direct argumentele a doi logaritmi și se uită că fiecare trebuie să fie pozitiv. Fără condițiile de existență, în mulțimea soluțiilor intră numere pentru care logaritmii din enunț nu există.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați inecuația $lo g_{2} x < 3$ .
- a) $(0, 8)$
- b) $(- \infty, 8)$
- c) $(8, \infty)$
- d) $(0, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0, 8)$

Baza $2$ e supraunitară, sensul se păstrează: $0 < x < 2^{3} = 8$ . Condiția $x > 0$ nu dispare niciodată la logaritmi.
Rezolvați inecuația $lo g_{1/3} x > 2$ .
- a) $(\frac{1}{9}, \infty)$
- b) $(0, \frac{1}{9})$
- c) $(0, 9)$
- d) $(9, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, \frac{1}{9})$

Baza $\frac{1}{3}$ e subunitară, deci sensul se schimbă: $0 < x < (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ . Verificare pentru $x = 0, 05$ : $lo g_{1/3} 0, 05 \approx 2, 73 > 2$ ✓; pentru $x = 0, 2 > \frac{1}{9}$ : $lo g_{1/3} 0, 2 \approx 1, 46 < 2$ , corect exclus.
Rezolvați inecuația $lo g_{3} (x - 2) \leq lo g_{3} (8 - x)$ .
- a) $[5, 8)$
- b) $(2, 8)$
- c) $(2, 5]$
- d) $(2, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(2, 5]$

CE: $x - 2 > 0$ și $8 - x > 0$ , deci $x \in (2, 8)$ . Baza $3 > 1$ păstrează sensul: $x - 2 \leq 8 - x ⟺ x \leq 5$ . Intersecția: $(2, 5]$ — capătul $5$ intră, fiindcă la $x = 5$ ambii membri sunt egali cu $lo g_{3} 3$ .

Întrebări conexe

Ce sistem rezolv de fapt la o inecuație logaritmică?

Unul format din condițiile de existență și din inegalitatea obținută după trecerea la argumente. Cele două părți se rezolvă separat, apoi se intersectează. Sărind peste condiții, ai putea include numere pentru care logaritmul din enunț nici nu are sens, deci răspunsul ar fi prea larg.

Ce fac dacă un membru al inecuației nu este logaritm?

Îl scrii ca logaritm în aceeași bază, folosind faptul că orice număr este logaritmul unei puteri a bazei. Numărul $3$ devine astfel logaritmul lui $8$ în baza $2$ , iar inecuația capătă aceeași formă în ambii membri.

De ce soluția nu poate cuprinde numere din afara domeniului?

Fiindcă argumentul logaritmului trebuie să rămână strict pozitiv, iar condiția aceasta taie din start toate valorile care l-ar face nul sau negativ. De aceea mulțimea soluțiilor se caută numai în interiorul domeniului de existență.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc o inecuație logaritmică cu un număr negativ?

Sensul inegalității se întoarce, exact ca la orice inecuație cu numere. Pasul acesta se face rar, fiindcă de obicei coeficientul se mută în exponentul argumentului, unde nu schimbă nimic din sensul inegalității.

Cum verific o soluție găsită la o inecuație logaritmică?

Alegi un număr din intervalul obținut, îl înlocuiești în inecuația de la început și te uiți dacă afirmația iese adevărată. Verifici și un număr din afara intervalului, ca să vezi că acolo inegalitatea nu se mai îndeplinește.

De ce se marchează condițiile de existență pe aceeași axă cu soluțiile?

Pentru că răspunsul final este intersecția lor, iar aceasta se citește cel mai sigur pe desen. Când condițiile dau mai multe bucăți separate, sau când inegalitatea produce o reuniune, calculul în minte greșește ușor. Axa arată dintr-o privire ce rămâne comun.

Oamenii mai întreabă și: inecuații logaritmice · când se schimbă sensul la inecuații cu logaritmi · inecuație cu logaritm în bază subunitară · condiții de existență la inecuații logaritmice · cum scriu mulțimea soluțiilor la logaritmi