Cum se înmulțesc două polinoame?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Înmulțirea polinoamelor

Desfaci produsul: fiecare monom din primul factor se înmulțește pe rând cu toate monoamele din al doilea, apoi reduci termenii de același rang. La monoame, coeficienții se înmulțesc și exponenții se adună: $(a X^{i}) (b X^{j}) = ab X^{i + j}$ . De exemplu, $(X + 2) (X^{2} - 3) = X^{3} - 3 X + 2 X^{2} - 6 = X^{3} + 2 X^{2} - 3 X - 6$ . Gradul produsului este suma gradelor, iar termenul liber este produsul termenilor liberi — două verificări rapide ale rezultatului.

La înmulțirea monoamelor, coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună: $(a X^{i}) (b X^{j}) = ab X^{i + j}$ . Coeficientul de rang $k$ al produsului este $c_{k} = a_{0} b_{k} + a_{1} b_{k - 1} + \dots + a_{k} b_{0}$ — indicii merg în sens contrar, cu suma mereu $k$ ; în particular, termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi.

Teorema gradului produsului: pentru $f, g$ nenule, $grad (f g) = grad f + grad g$ — de această dată o egalitate sigură, spre deosebire de adunare, pentru că produsul a doi coeficienți dominanți nenuli nu se poate anula în $C$ .

Consecințe importante: $C [X]$ nu are divizori ai lui zero (dacă $f g = 0$ , atunci $f = 0$ sau $g = 0$ ); se poate simplifica ( $f h = g h$ cu $h \neq = 0$ implică $f = g$ ); iar pentru puteri, $grad (f^{k}) = k \cdot grad f$ .

Trei descompuneri de memorat: $X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ , $X^{3} + 1 = (X + 1) (X^{2} - X + 1)$ , $X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$ — ultima specifică lucrului în $C [X]$ . Când se cere un singur coeficient al unui produs, formula $c_{k}$ îl dă direct, fără să desfaci tot calculul.

Adunarea și înmulțirea împreună fac din $C [X]$ un inel comutativ: comutativitate, asociativitate, element neutru ( $1$ ) și distributivitate față de adunare — cu polinoamele se calculează exact ca și cu numerele, cu o singură excepție majoră: împărțirea nu dă întotdeauna un rezultat exact, motiv pentru care ea cere o teoremă separată, cu cât și rest.

De reținut

$(a X^{i}) (b X^{j}) = ab X^{i + j}$
$grad (f g) = grad f + grad g$
$c_{k} = a_{0} b_{k} + a_{1} b_{k - 1} + \dots + a_{k} b_{0}$

Greșeala tipică

Se înmulțesc exponenții în loc să fie adunați: din $X^{2} \cdot X^{3}$ iese $X^{6}$ în loc de $X^{5}$ . Aceeași confuzie apare și la grade, unde gradele factorilor se adună.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $(X + 4) (X - 3)$ .
- a) $X^{2} + X - 12$
- b) $X^{2} - X - 12$
- c) $X^{2} + 7 X - 12$
- d) $X^{2} + X + 12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X^{2} + X - 12$

$(X + 4) (X - 3) = X^{2} - 3 X + 4 X - 12 = X^{2} + X - 12$ .
Dacă $grad f = 6$ și $grad g = 4$ , ce grad are $f \cdot g$ ?
- a) $24$
- b) $10$
- c) $2$
- d) depinde de coeficienți
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Pentru polinoame nenule, gradul produsului este întotdeauna suma gradelor: $6 + 4 = 10$ , fără excepții.
Care este termenul liber al produsului $(X^{2} - 3 X + 5) (2 X^{2} + X - 4)$ ?
- a) $- 4$
- b) $20$
- c) $- 20$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 20$

Termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi: $5 \cdot (- 4) = - 20$ .

Întrebări conexe

Cum se înmulțesc două monoame?

Înmulțești coeficienții între ei și aduni exponenții nedeterminatei: $(4 X^{3}) (- 2 X^{5}) = - 8 X^{8}$ . Exponenții nu se înmulțesc niciodată. Regula vine direct din proprietatea puterilor cu aceeași bază și se aplică identic dacă unul dintre coeficienți este complex.

Ce grad are puterea $f^{k}$ a unui polinom?

Are gradul $k \cdot grad f$ , pentru că fiecare înmulțire adaugă încă un grad egal cu al lui $f$ . Astfel, cubul unui polinom de gradul $4$ are gradul $12$ . Coeficientul dominant al puterii este coeficientul dominant al lui $f$ ridicat la $k$ .

Câte produse de monoame fac la înmulțirea a două polinoame?

Dacă gradele sunt $n$ și $m$ , ai $(n + 1) (m + 1)$ produse, câte unul pentru fiecare pereche de ranguri. La două polinoame de gradul al doilea ies nouă produse. Numărătoarea aceasta îți spune dacă ai sărit vreo pereche înainte de reducerea termenilor.

Ce este termenul liber al unui produs de polinoame?

Este produsul termenilor liberi ai factorilor, pentru că singura pereche de ranguri care dă exponentul zero este perechea formată din cele două ranguri nule. Verificarea se scrie ca $(f g) (0) = f (0) \cdot g (0)$ și prinde rapid o greșeală de semn.

Ce înseamnă că $C [X]$ este inel comutativ?

Înseamnă că adunarea și înmulțirea polinoamelor se comportă ca la numere: sunt comutative și asociative, înmulțirea se distribuie față de adunare, există polinomul nul ca element neutru la adunare și polinomul $1$ la înmulțire. Lipsește doar împărțirea exactă, care cere teoremă separată.

Cum verific rezultatul unei înmulțiri de polinoame?

Înlocuiești nedeterminata cu un număr comod, de obicei $1$ , $- 1$ sau $2$ , și compari valoarea produsului cu produsul valorilor. O nepotrivire arată sigur o greșeală. Poți verifica separat și gradul, care trebuie să fie suma gradelor factorilor.

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea polinoamelor · cum înmulțesc două polinoame · produsul a două polinoame · gradul produsului de polinoame