Ce se întâmplă cu argumentele la înmulțire?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Înmulțire/împărțire trigonometrică

Se adună, în timp ce modulele se înmulțesc: produsul a două numere scrise trigonometric are modulul $r_{1} r_{2}$ și argumentul $φ_{1} + φ_{2}$ . La împărțire lucrurile se răstoarnă: modulele se împart, iar argumentele se scad. Dacă rezultatul iese în afara intervalului de la $0$ la $2 π$ , îl aduci înapoi adunând sau scăzând o rotație completă. Geometric, înmulțirea cu un număr înseamnă o rotire urmată de o mărire sau micșorare.

La înmulțirea a două numere scrise trigonometric, modulele se înmulțesc și argumentele se adună:

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (φ_{1} + φ_{2}) + i sin (φ_{1} + φ_{2})) .$

La împărțire, modulele se împart și argumentele se scad. Dacă suma (respectiv diferența) argumentelor iese din $[0, 2 π)$ , se reduce scăzând sau adunând $2 π$ . Inversul: $\frac{1}{z} = \frac{1}{r} (cos (2 π - φ) + i sin (2 π - φ))$ .

Geometric, înmulțirea cu $z_{1} = r_{1} (cos φ_{1} + i sin φ_{1})$ este o rotație de unghi $φ_{1}$ compusă cu o omotetie de raport $r_{1}$ , ambele centrate în origine. Cazul special: cum $i = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}$ are modulul $1$ , înmulțirea cu $i$ este rotația de $90°$ în sens trigonometric — se verifică imediat pe $(3 + 4 i) \cdot i = - 4 + 3 i$ , punctul $(3, 4)$ ajungând în $(- 4, 3)$ .

Două cazuri particulare merită reținute: dacă $∣ z_{1} ∣ = 1$ , înmulțirea cu $z_{1}$ este o rotație pură, fără schimbare de scară; dacă $ar g z_{1} = 0$ (adică $z_{1}$ e real pozitiv), înmulțirea este o omotetie pură, fără schimbare de direcție.

Pentru mai mulți factori egali, regula se extinde la $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ — germenele formulei lui Moivre, studiată în lecția următoare, care va transforma calculul puterilor mari într-o simplă înmulțire a argumentului cu exponentul.

De reținut

produs: $r_{1} r_{2}$ și $φ_{1} + φ_{2}$
cât: $\frac{r _{1}}{r _{2}}$ și $φ_{1} - φ_{2}$
argumentul se readuce în $[0, 2 π)$

Greșeala tipică

Se lasă suma argumentelor peste o rotație completă și se dă drept argument redus. Valoarea trebuie adusă înapoi în intervalul de la $0$ la $2 π$ , scăzând sau adunând $2 π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați modulul produsului a două numere complexe cu modulele $3$ și $7$ .
- a) $21$
- b) $10$
- c) $4$
- d) $\frac{3}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $21$

La produs, modulele se înmulțesc: $3 \cdot 7 = 21$ .
Numerele $z_{1}$ (modul $4$ , argument $150°$ ) și $z_{2}$ (modul $2$ , argument $225°$ ) se înmulțesc. Care este argumentul redus, în grade, al produsului?
- a) $375°$
- b) $15°$
- c) $75°$
- d) $165°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $15°$

Suma este $150° + 225° = 375°$ , care depășește $360°$ ; reducem: $375° - 360° = 15°$ .
Punctul de afix $z = 5$ se rotește cu $90°$ în jurul originii, în sens trigonometric. Care este afixul noului punct?
- a) $5$
- b) $- 5 i$
- c) $5 i$
- d) $- 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5 i$

Rotația cu $90°$ înseamnă înmulțirea cu $i$ : $5 \cdot i = 5 i$ .

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu modulele la împărțirea a două numere complexe?

Se împart, la fel cum se înmulțesc la produs. Regula vine din faptul că modulul măsoară întinderea, iar împărțirea desface întinderea făcută de al doilea număr. Numitorul trebuie să fie nenul, altfel operația nu are sens, fiindcă un modul zero înseamnă chiar originea.

Ce argument are inversul unui număr complex?

Opusul argumentului numărului de la care pleci, fiindcă inversul se obține împărțind $1$ la el, iar la împărțire argumentele se scad. Modulul devine inversul modulului. Pe desen, punctul trece de cealaltă parte a axei reale și își schimbă depărtarea de origine.

Cum verific rezultatul unei înmulțiri în formă trigonometrică?

Treci ambele numere în formă algebrică, faci înmulțirea obișnuită și compari. Un control mai rapid: modulul rezultatului trebuie să fie produsul modulelor, iar punctul de pe desen trebuie să cadă în cadranul indicat de argumentul redus găsit. Dacă unul dintre ele nu se potrivește, calculul se reia.

Ce afix are punctul obținut rotind cu 90 de grade punctul de afix 5?

O rotire cu un sfert de tură în sens trigonometric înseamnă înmulțirea cu $i$ , care are modulul $1$ și argumentul $\frac{π}{2}$ . Rezultatul este $5 i$ , deci punctul de pe axa orizontală urcă pe cea verticală, la aceeași depărtare de origine.

Cât este modulul inversului unui număr cu modulul o pătrime?

Modulul inversului este inversul modulului, deci $\frac{1}{1/4} = 4$ . Argumentul inversului se obține scăzând argumentul din $2 π$ . Regula vine direct din formula împărțirii, aplicată cu numărul $1$ la numărător.

Ce transformare geometrică este înmulțirea cu un număr de modul 1?

Este o rotire în jurul originii, cu un unghi egal cu argumentul acelui număr. Depărtarea până la origine rămâne aceeași, fiindcă modulele se înmulțesc, iar unul dintre ele este $1$ . Cazul cel mai cunoscut este înmulțirea cu $i$ , care rotește cu un sfert de tură.

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea în formă trigonometrică · împărțirea în formă trigonometrică · de ce înmulțirea cu i este o rotație · modulele se înmulțesc argumentele se adună · inversul unui număr scris trigonometric