Ce mulțime descrie condiția $$|z-(2-3i)|=6$$?

cercul de centru $$(2,-3)$$ și rază $$6$$

cercul de centru $$(-2,3)$$ și rază $$6$$

cercul de centru $$(2,3)$$ și rază $$6$$

Cum se scrie un cerc cu numere complexe?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Interpretare geometrică: distanțe

Cu ajutorul modulului unei diferențe, care măsoară distanța dintre două puncte: $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ este lungimea segmentului dintre imaginile lor. Cercul de centru $z_{0}$ și rază $r$ se scrie așadar $∣ z - z_{0} ∣ = r$ , iar discul plin se obține punând semnul mai mic sau egal. Tot de aici vin și alte mulțimi: egalitatea $∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ adună punctele aflate la fel de departe de două imagini fixe, adică mediatoarea segmentului dintre ele.

Adunarea a două numere complexe se citește geometric prin regula paralelogramului: dacă $A$ , $B$ sunt imaginile lui $z_{1}$ , $z_{2}$ , atunci imaginea sumei este al patrulea vârf $C$ al paralelogramului $O A C B$ (diagonalele $O C$ și $A B$ au același mijloc).

Rezultatul central al lecției: $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ este distanța dintre imaginile lui $z_{1}$ și $z_{2}$ . De aici pornesc toate mulțimile de puncte descrise prin module:

$∣ z - z_{0} ∣ = r$ este cercul de centru $M_{0} (z_{0})$ și rază $r$ ( $∣ z - z_{0} ∣ \leq r$ dă discul închis);
$∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ este mediatoarea segmentului determinat de imaginile lui $a$ și $b$ .

Rămâne valabilă inegalitatea triunghiului, $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ , cu egalitate exact atunci când $z_{1}$ și $z_{2}$ au aceeași direcție și același sens (unul e multiplu real nenegativ al celuilalt).

Această interpretare rezolvă rapid și problemele de tip „între ce limite variază”: dacă $M$ e pe un cerc de centru $C$ și rază $r$ , iar $P$ e un punct fix la distanța $d$ de $C$ , atunci distanța de la $M$ la $P$ variază între $∣ d - r ∣$ și $d + r$ .

De reținut

$∣ z_{1} - z_{2} ∣$ = distanța dintre imagini
$∣ z - z_{0} ∣ = r$ : cerc de centru $z_{0}$ și rază $r$
$∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ : mediatoarea segmentului

Greșeala tipică

Se caută valoarea extremă a unui modul înlocuind numere la întâmplare pe cerc. Distanța de la un punct fix la un cerc are extremele pe dreapta care trece prin centru și prin acel punct, deci răspunsul este raza adunată sau scăzută din distanța până la centru.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați distanța dintre imaginile numerelor $4 + i$ și $- 2 + 9 i$ .
- a) $10$
- b) $6$
- c) $8$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$

Distanța este $∣ z_{1} - z_{2} ∣ = ∣ (4 + i) - (- 2 + 9 i) ∣ = ∣6 - 8 i ∣ = 36 + 64 = 10$ .
Ce mulțime descrie condiția $∣ z - (2 - 3 i) ∣ = 6$ ?
- a) cercul de centru $(- 2, 3)$ și rază $6$
- b) cercul de centru $(2, - 3)$ și rază $6$
- c) cercul de centru $(2, 3)$ și rază $6$
- d) o dreaptă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cercul de centru $(2, - 3)$ și rază $6$

Condiția are direct forma $∣ z - z_{0} ∣ = r$ , cu $z_{0} = 2 - 3 i$ : cercul de centru $(2, - 3)$ și rază $6$ .
Ce mulțime descrie punctele $M (z)$ cu $∣ z - 4∣ = ∣ z + 2∣$ ?
- a) cercul de rază $1$
- b) dreapta $x = - 1$
- c) dreapta $x = 1$
- d) dreapta $y = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) dreapta $x = 1$

Este mediatoarea segmentului cu capetele $A (4, 0)$ și $B (- 2, 0)$ . Mijlocul este $(1, 0)$ , iar segmentul fiind orizontal, mediatoarea este verticala $x = 1$ .

Întrebări conexe

Ce spune regula paralelogramului la adunarea numerelor complexe?

Dacă imaginile a două numere sunt punctele $A$ și $B$ , atunci punctul care reprezintă suma lor închide paralelogramul construit pe segmentele $O A$ și $O B$ . Diagonalele acestei figuri au același mijloc, ceea ce dă o cale rapidă de a verifica desenul.

Cât este distanța dintre imaginile numerelor 4 plus i și minus 2 plus 9i?

Calculezi modulul diferenței: $(4 + i) - (- 2 + 9 i) = 6 - 8 i$ , al cărui modul este $36 + 64 = 100 = 10$ . Ordinea scăderii nu contează, fiindcă un număr și opusul lui au același modul. Rezultatul se potrivește cu tripletul $6$ , $8$ , $10$ .

Ce mulțime obțin dacă pun semnul mai mic în locul egalului?

Un disc: condiția $∣ z - z_{0} ∣ \leq r$ adună toate punctele aflate cel mult la distanța $r$ de centru, adică cercul împreună cu interiorul lui. Cu semnul strict, marginea rămâne afară. Aceeași idee dă o coroană, când distanța este prinsă între două valori.

Când devine egalitate inegalitatea triunghiului pentru module?

Atunci când cele două numere au aceeași direcție și același sens, adică unul este celălalt înmulțit cu un număr real nenegativ. Geometric, triunghiul format cu originea se turtește, iar cele trei puncte ajung pe o dreaptă, unul între celelalte două.

Cum arăt că trei puncte date prin afixe sunt coliniare?

Compari direcțiile: împarți diferența afixelor a două perechi de puncte și verifici dacă rezultatul este un număr real. Un cât real înseamnă că nu apare nicio rotație între cele două direcții, deci punctele stau pe aceeași dreaptă. Dacă în cât rămâne o parte imaginară, ele formează un triunghi.

Ce afix are mijlocul unui segment dat prin afixele capetelor?

Semisuma celor două afixe, exact ca la coordonatele obișnuite. Pentru capetele de afixe $2 + 4 i$ și $6 - 2 i$ mijlocul are afixul $4 + i$ . Regula vine din faptul că adunarea numerelor complexe se face pe părți, iar împărțirea la doi le înjumătățește pe amândouă.

Oamenii mai întreabă și: ecuația unui cerc cu numere complexe · modulul diferenței este distanța · ce mulțime descrie modulul lui z minus z zero · mediatoarea scrisă cu module · interpretarea geometrică a operațiilor