Dreapta de ecuație $$y = -4$$ intersectează axele de coordonate astfel:

Doar axa $$Oy$$, în punctul $$(0, -4)$$; este paralelă cu $$Ox$$

Doar axa $$Ox$$, în punctul $$(-4, 0)$$; este paralelă cu $$Oy$$

Ambele axe, în punctele $$(0, -4)$$ și $$(-4, 0)$$

În ecuația $$y = -\dfrac{2}{3}x + 6$$, coordonatele punctului de intersecție cu axa $$Oy$$ sunt, fără niciun calcul suplimentar:

$$\left(0, -\dfrac{2}{3}\right)$$

Unde taie o dreaptă axele de coordonate?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Intersecțiile dreptei cu axele de coordonate

Pui pe rând câte o coordonată egală cu zero. Pentru tăietura cu axa orizontală faci $y = 0$ și rezolvi ecuația rămasă; pentru cea cu axa verticală faci $x = 0$ și citești valoarea. La $y = 2 x - 6$ ies punctele $(3, 0)$ și $(0, - 6)$ . Rezultatul se dă sub formă de pereche, nu ca o valoare singură, ca să se știe pe ce axă stă.

Un punct se află pe axa $O x$ exact atunci când ordonata lui este zero, iar pe axa $O y$ exact atunci când abscisa lui este zero. De aici, rețeta are două rânduri: pentru $d \cap O x$ pui $y = 0$ în ecuația dreptei și afli $x$ ; pentru $d \cap O y$ pui $x = 0$ și afli $y$ . Răspunsul se scrie mereu ca punct, cu zeroul la locul lui — nu „intersecția cu $O x$ este $6$ ", ci punctul $(6, 0)$ .

În forma explicită $y = m x + n$ , intersecția cu $O y$ se citește direct, $(0, n)$ , de aceea $n$ se numește ordonata la origine; pentru cealaltă tăietură rezolvi $m x + n = 0$ .

Nu orice dreaptă taie ambele axe: dreapta orizontală $y = b$ ( $b \neq = 0$ ) nu taie $O x$ ; dreapta verticală $x = a$ ( $a \neq = 0$ ) nu taie $O y$ ; iar o dreaptă prin origine ( $n = 0$ ) are ambele tăieturi în același punct, $O$ , deci nu formează triunghi cu axele.

Dacă tăieturile sunt $A (a, 0)$ și $B (0, b)$ , ele formează cu axele un triunghi dreptunghic în $O$ , cu aria $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ — valorile absolute sunt obligatorii, pentru că tăieturile pot fi negative. În probleme practice, cele două tăieturi înseamnă „valoarea de la început" și „momentul în care totul se termină".

De reținut

cu axa orizontală: se pune $y = 0$
cu axa verticală: se pune $x = 0$ , deci punctul $(0, n)$
aria triunghiului format cu axele: $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$

Greșeala tipică

Pentru tăietura cu axa orizontală se anulează abscisa, deși acolo se anulează ordonata. Numele axei arată ce coordonată variază de-a lungul ei, nu ce coordonată se face zero.

Exerciții din această mini-lecție

Intersecțiile dreptei $d : 3 x - 2 y - 12 = 0$ cu axa $O x$ , respectiv cu axa $O y$ , sunt punctele:
- a) $(4, 0)$ și $(0, - 6)$
- b) $(0, - 6)$ și $(4, 0)$
- c) $(4, 0)$ și $(0, 6)$
- d) $(- 4, 0)$ și $(0, - 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(4, 0)$ și $(0, - 6)$

Pentru $O x$ punem $y = 0$ : $3 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ , deci $(4, 0)$ . Pentru $O y$ punem $x = 0$ : $- 2 y - 12 = 0 \Rightarrow y = - 6$ , deci $(0, - 6)$ .

Varianta a este corectă.

Varianta b inversează cele două puncte între axe — greșeala de a pune $x = 0$ pentru $O x$ și $y = 0$ pentru $O y$ , adică exact invers decât trebuie.

Varianta c are un semn greșit la intersecția cu $O y$ : din $- 2 y - 12 = 0$ s-a scris $y = 6$ în loc de $y = - 6$ (s-a omis semnul minus).

Varianta d are un semn greșit la intersecția cu $O x$ : din $3 x - 12 = 0$ s-a scris $x = - 4$ în loc de $x = 4$ .
Dreapta de ecuație $y = - 4$ intersectează axele de coordonate astfel:
- a) Doar axa $O y$ , în punctul $(0, - 4)$ ; este paralelă cu $O x$
- b) Doar axa $O x$ , în punctul $(- 4, 0)$ ; este paralelă cu $O y$
- c) Ambele axe, în punctele $(0, - 4)$ și $(- 4, 0)$
- d) Nu intersectează nicio axă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Doar axa $O y$ , în punctul $(0, - 4)$ ; este paralelă cu $O x$

$y = - 4$ este o dreaptă orizontală. Cu $O y$ : punând $x = 0$ obținem $(0, - 4)$ . Cu $O x$ : ar trebui ca $- 4 = 0$ , ceea ce este fals, deci nu are niciun punct comun cu $O x$ — este paralelă cu ea.

Varianta a este corectă.

Varianta b confundă orizontala cu verticala: o dreaptă orizontală nu poate tăia doar $O x$ , ci doar $O y$ (sau coincide cu $O x$ , dacă ar fi $y = 0$ ).

Varianta c este greșită: $y = - 4$ nu trece prin $(- 4, 0)$ , pentru că acel punct are ordonata $0$ , nu $- 4$ .

Varianta d este greșită: dreapta taie totuși axa $O y$ , în $(0, - 4)$ ; doar cu $O x$ nu are punct comun.
În ecuația $y = - \frac{2}{3} x + 6$ , coordonatele punctului de intersecție cu axa $O y$ sunt, fără niciun calcul suplimentar:
- a) $(0, 6)$
- b) $(6, 0)$
- c) $(0, - \frac{2}{3})$
- d) $(9, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0, 6)$

În forma $y = m x + n$ , intersecția cu $O y$ este direct $(0, n)$ ; aici $n = 6$ , deci punctul este $(0, 6)$ , fără niciun calcul.

Varianta a este corectă.

Varianta b inversează coordonatele, confundând-o cu o eventuală (greșită) intersecție pe $O x$ .

Varianta c confundă panta $m = - \frac{2}{3}$ cu ordonata la origine $n$ — cele două numere au roluri diferite în $y = m x + n$ .

Varianta d este de fapt intersecția corectă cu axa $O x$ (din $- \frac{2}{3} x + 6 = 0 \Rightarrow x = 9$ ), dar dată ca răspuns pentru axa greșită — enunțul cere intersecția cu $O y$ , nu cu $O x$ .

Întrebări conexe

Ce tăieturi are dreapta cu ecuația 3x plus 4y minus 12 egal zero?

Punând $y = 0$ obții $3 x = 12$ , deci punctul $(4, 0)$ . Punând $x = 0$ obții $4 y = 12$ , deci punctul $(0, 3)$ . Cele două tăieturi sunt de ajuns pentru a trasa dreapta, unind punctele cu rigla.

De ce răspunsul se scrie ca pereche, nu ca un singur număr?

Fiindcă intersecția este un punct din plan, iar un punct are nevoie de două coordonate. Scriind doar $6$ , nu se știe dacă este vorba de $(6, 0)$ sau de $(0, 6)$ , adică de tăieturi cu axe diferite. Zeroul din pereche arată pe ce axă te afli.

Cum se citește ordonata la origine direct de pe grafic?

Te uiți unde dreapta traversează axa verticală și citești înălțimea acelui punct. Valoarea găsită este chiar termenul liber din ecuație. Este cea mai rapidă informație pe care o poți lua dintr-un desen, fără niciun calcul.

Ce înseamnă tăietura cu axa orizontală la un rezervor care se golește?

Momentul în care cantitatea ajunge la zero, adică rezervorul rămâne gol. Dacă nivelul este dat de $V = 60 - 4 t$ , punând $V = 0$ obții $t = 15$ , deci golirea are loc după cincisprezece unități de timp. Tăietura cu cealaltă axă dă cantitatea de la început.

Câte tăieturi are o dreaptă oblică?

Exact două, câte una cu fiecare axă, dacă nu trece prin origine. Când trece prin origine, cele două tăieturi se suprapun în același punct. Dreptele orizontale și cele verticale au, în schimb, o singură tăietură.

Cum verific o tăietură găsită?

Înlocuiești coordonatele punctului în ecuația dreptei și vezi dacă egalitatea se confirmă. Pentru $y = 2 x - 6$ și punctul $(3, 0)$ , calculul dă $2 \cdot 3 - 6 = 0$ , deci punctul chiar se află pe dreaptă. Verificarea durează câteva secunde.

Oamenii mai întreabă și: unde taie dreapta axele · intersecția dreptei cu axa orizontală · ordonata la origine a unei drepte · cum desenez o dreaptă din două tăieturi · aria triunghiului format de dreaptă cu axele