Evenimentele $$A_1,A_2,A_3$$ sunt două câte două incompatibile, cu $$P(A_1)=0{,}2$$, $$P(A_2)=0{,}3$$, $$P(A_3)=0{,}4$$. Formează ele un sistem complet de evenimente?

Nu, pentru că suma probabilităților este $$0{,}9\neq1$$

Da, pentru că sunt incompatibile

Da, pentru că fiecare are probabilitate pozitivă

Ce spune legea probabilității totale?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Legea probabilității totale

Dacă evenimentele $A_{1}, \dots, A_{n}$ acoperă toate situațiile posibile și nu se pot produce două deodată, atunci pentru orice eveniment $B$ avem $P (B) = \sum P (A_{i}) \cdot P (B ∣ A_{i})$ . Practic, iei fiecare scenariu cu ponderea lui și aduni. La două urne alese cu aceeași șansă, prima cu $\frac{3}{5}$ bile albe și a doua cu $\frac{1}{5}$ , probabilitatea de a scoate o bilă albă este $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ .

Evenimentele $A_{1}, \dots, A_{n}$ formează un sistem complet de evenimente dacă sunt două câte două incompatibile, reuniunea lor este $Ω$ și fiecare are probabilitate pozitivă — consecință de control: $P (A_{1}) + \dots + P (A_{n}) = 1$ .

Legea probabilității totale: pentru orice eveniment $B$ , $P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \cdot P (B ∣ A_{i}) .$ Demonstrația pornește din $B = (B \cap A_{1}) \cup \dots \cup (B \cap A_{n})$ , bucăți disjuncte, apoi $P (B \cap A_{i}) = P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$ .

Rețeta: numești scenariile, verifici că ponderile lor se adună la $1$ , scrii probabilitățile condiționate „ca și cum ai ști sigur” scenariul, aplici formula și controlezi că rezultatul se află între cea mai mică și cea mai mare probabilitate condiționată. Nu amesteca bilele din urne diferite — dă rezultat corect doar dacă urnele au același număr de bile.

Problema inversă — din ce scenariu a provenit rezultatul? — nu cere formulă nouă: $P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{P ( B )}$ , adică un singur termen din sumă, împărțit la suma întreagă.

Cel mai simplu sistem complet este perechea ${A, \overline{A}}$ , un eveniment și contrarul lui. La probleme cu urne alese la întâmplare, scenariile pot fi echiprobabile (fiecare urnă cu aceeași șansă) sau nu (de exemplu, alese printr-un zar sau o monedă), iar formula funcționează identic în ambele cazuri — doar ponderile $P (A_{i})$ diferă.

De reținut

$P (B) = \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$
scenariile: disjuncte și acoperă tot; $\sum P (A_{i}) = 1$
problema inversă: $P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{P ( B )}$

Greșeala tipică

Bilele din toate urnele sunt puse laolaltă și numărate ca un singur set. Procedeul nimerește răspunsul numai atunci când urnele conțin tot atâtea bile fiecare; în rest, ponderile scenariilor se pierd.

Exerciții din această mini-lecție

Se alege la întâmplare, cu probabilitatea $\frac{1}{2}$ fiecare, una dintre urnele: $U_{1}$ ( $2$ albe, $3$ negre) sau $U_{2}$ ( $4$ albe, $1$ neagră). Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca ea să fie albă?
- a) $\frac{3}{5}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{2}{5}$
- d) $\frac{3}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

$P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Amestecarea bilelor ar da tot $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ aici (coincidență, pentru că urnele au același număr de bile), dar rețeta corectă rămâne legea probabilității totale.
Evenimentele $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ sunt două câte două incompatibile, cu $P (A_{1}) = 0, 2$ , $P (A_{2}) = 0, 3$ , $P (A_{3}) = 0, 4$ . Formează ele un sistem complet de evenimente?
- a) Da, pentru că sunt incompatibile
- b) Nu, pentru că suma probabilităților este $0, 9 \neq = 1$
- c) Da, pentru că fiecare are probabilitate pozitivă
- d) Nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că suma probabilităților este $0, 9 \neq = 1$

Fiind incompatibile, $P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9$ . Cum $0, 9 \neq = 1$ , reuniunea nu este evenimentul sigur, deci condiția a doua din definiție nu este îndeplinită — nu formează un sistem complet, oricât ar fi de incompatibile.
Atelierul $A$ produce $70%$ dintre piesele unei fabrici, cu $4%$ rebut; atelierul $B$ produce restul de $30%$ , cu $8%$ rebut. Care este probabilitatea ca o piesă aleasă la întâmplare să fie rebut?
- a) $0, 04$
- b) $0, 08$
- c) $0, 052$
- d) $0, 06$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 052$

$P (R) = 0, 7 \cdot 0, 04 + 0, 3 \cdot 0, 08 = 0, 028 + 0, 024 = 0, 052$ , adică $5, 2%$ — o valoare între $4%$ și $8%$ , mai aproape de $4%$ pentru că atelierul $A$ produce mai mult.

Întrebări conexe

Ce sumă trebuie să dea probabilitățile scenariilor?

Exact $1$ , fiindcă scenariile acoperă toate situațiile și nu se suprapun. Dacă suma iese altceva, ai uitat un caz sau ai numărat unul de două ori, iar formula nu se mai poate aplica. Verificarea se face înaintea oricărui calcul.

Care este cel mai simplu sistem complet de evenimente?

Un eveniment împreună cu contrarul lui: cele două nu se pot produce deodată, iar împreună acoperă tot. Cu acest sistem, formula devine $P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (\overline{A}) P (B ∣ \overline{A})$ , forma întâlnită cel mai des la exerciții.

Cum se demonstrează legea probabilității totale?

Scrii evenimentul $B$ ca reuniune a bucăților lui din fiecare scenariu. Bucățile sunt disjuncte, deci probabilitățile lor se adună, iar fiecare bucată se calculează cu regula înmulțirii. Adunând, obții chiar suma din enunțul legii.

Ce fac dacă urnele nu sunt alese cu aceeași șansă?

Formula rămâne identică, doar ponderile se schimbă. Dacă urna se alege aruncând un zar, cu prima urnă la rezultate de la $1$ la $4$ , ponderile devin $\frac{2}{3}$ și $\frac{1}{3}$ , iar probabilitățile condiționate rămân cele date de compoziția fiecărei urne.

Cum recunosc o problemă care cere legea probabilității totale?

După faptul că experimentul are două etape: întâi se alege la întâmplare ceva — o urnă, o mașină, un lot de piese — și abia apoi se face extragerea propriu-zisă. Dacă enunțul dă compoziții diferite pentru fiecare variantă, probabilitatea finală se strânge din toate scenariile.

Cum aleg scenariile într-o problemă cu două urne?

Scenariul este alegerea urnei, iar evenimentul studiat este culoarea bilei. Scrii deci probabilitatea fiecărei urne, apoi probabilitatea culorii în interiorul acelei urne. Confuzia dintre cele două niveluri este cauza celor mai multe greșeli la acest tip de problemă.

Oamenii mai întreabă și: legea probabilității totale · formula probabilității totale · probleme cu două urne · sistem complet de evenimente