Condițiile de existență ale lui $$\log_a b$$ sunt:

$$a>0$$, fără altă condiție

Ce este un logaritm?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Logaritmul: definiție și primele calcule

Este exponentul la care trebuie ridicată o bază ca să obții un număr dat: $lo g_{a} b = c$ înseamnă $a^{c} = b$ . Ca să calculezi unul, cauți puterea bazei care dă exact argumentul, iar exponentul găsit este răspunsul. De exemplu, $lo g_{2} 32 = 5$ , fiindcă $2^{5} = 32$ , iar $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ , fiindcă $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . Expresia are sens doar când argumentul este strict pozitiv, iar baza pozitivă și diferită de $1$ .

Ecuația $2^{x} = 5$ are, cu siguranță, o soluție (funcția exponențială fiind bijectivă spre $(0, \infty)$ ), dar acea soluție nu se scrie cu niciun simbol de până acum. Matematica îi dă un nume: logaritm.

Definiția: pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b$ este unicul număr $c$ astfel încât $a^{c} = b$ ; echivalent, $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ . Logaritmul este, deci, un exponent — ca să-l calculezi, scrii argumentul ca putere a bazei și citești exponentul.

Condițiile de existență se scriu întâi: argumentul strict pozitiv, baza strict pozitivă și diferită de $1$ — fără ele, o rezolvare e incompletă la barem.

Identitățile-cheie, care leagă exponențiala de logaritm: $a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a^{x} = x$ , $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ . Notațiile consacrate: $l g x = lo g_{10} x$ (logaritm zecimal) și $ln x = lo g_{e} x$ (logaritm natural); „log” fără bază nu se folosește niciodată în rezolvări.

Greșeli frecvente: acceptarea unui argument negativ sau nul ( $lo g_{2} (- 8)$ nu există), uitarea condiției $a \neq = 1$ la exerciții cu bază variabilă, și confuzia dintre bază și argument — $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ , dar $lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}$ , valori diferite, chiar dacă numerele implicate sunt aceleași.

De reținut

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$
condiții: $b > 0$ , $a > 0$ , $a \neq = 1$
$a^{l o g_{a} b} = b$ și $lo g_{a} a^{x} = x$

Greșeala tipică

Se confundă baza cu argumentul și se scrie $lo g_{2} 8 = lo g_{8} 2$ . Baza stă jos, la indice, iar argumentul în paranteză; schimbarea lor dă cu totul alt număr.

Exerciții din această mini-lecție

Definiția logaritmului: $lo g_{a} b = c$ este echivalent cu:
- a) $a^{c} = b$
- b) $a^{b} = c$
- c) $b^{a} = c$
- d) $c^{a} = b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a^{c} = b$

Logaritmul $lo g_{a} b$ este exact exponentul $c$ la care trebuie ridicată baza $a$ pentru a obține $b$ .
Condițiile de existență ale lui $lo g_{a} b$ sunt:
- a) doar $b > 0$
- b) $a > 0, a \neq = 1, b > 0$
- c) $a > 0$ , fără altă condiție
- d) doar $a \neq = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a > 0, a \neq = 1, b > 0$

Toate trei condițiile sunt obligatorii: baza strict pozitivă și diferită de $1$ , argumentul strict pozitiv.
Identitatea $a^{l o g_{a} b}$ este egală cu:
- a) $1$
- b) $a$
- c) $b$
- d) $lo g_{a} b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $b$

Exponențiala și logaritmul se anulează reciproc: $a^{l o g_{a} b} = b$ , prin chiar definiția logaritmului.

Întrebări conexe

De ce nu poate fi 1 baza unui logaritm?

Pentru că orice putere a lui $1$ dă tot $1$ . Ecuația $1^{c} = b$ nu are nicio soluție când $b$ este diferit de $1$ și are o infinitate de soluții când $b$ este $1$ , deci exponentul căutat nu se poate stabili. Baza trebuie așadar luată diferită de $1$ .

Cât face logaritm în baza 2 din 32?

Cauți exponentul care duce $2$ în $32$ . Cum $2^{5} = 32$ , rezultatul este $5$ . Metoda funcționează ori de câte ori argumentul este o putere frumoasă a bazei; altfel valoarea se estimează sau se citește de la un instrument digital.

Cât face logaritm în baza 3 din o noime?

Scrii argumentul ca putere a bazei: $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ , deci logaritmul este $- 2$ . Un rezultat negativ nu are nimic ciudat: el apare de fiecare dată când argumentul stă între $0$ și $1$ , iar baza este supraunitară.

Cu ce este egal a la puterea logaritm în baza a din b?

Chiar cu $b$ . Egalitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ spune că ridicarea la putere și logaritmul se anulează reciproc, fiind operații inverse. Perechea ei este $lo g_{a} a^{x} = x$ , folosită la fel de des în simplificări.

De ce se spune că logaritmul este de fapt un exponent?

Pentru că valoarea lui arată chiar puterea la care se ridică baza ca să apară argumentul. Rezultatul unui logaritm nu este o mărime nouă, ci acel exponent. De aceea proprietățile logaritmilor le repetă, în oglindă, pe cele ale puterilor.

Există logaritm în baza 2 din minus 8?

Nu. Nicio putere a lui $2$ nu poate da un număr negativ, deci nu există exponentul căutat. Condiția de existență cere argument strict pozitiv, iar $- 8$ nu o respectă, așa că expresia nu are sens.

Oamenii mai întreabă și: ce este logaritmul · definiția logaritmului · cum calculez un logaritm fără calculator · condiții de existență la logaritmi · logaritmul este un exponent