Într-un șir ordonat crescător cu $$n=9$$ valori distincte, mărim ultima valoare (cea mai mare), fără să-i schimbăm poziția de cea mai mare din șir. Ce se întâmplă cu mediana?

Crește, pentru că cea mai mare valoare a crescut.

Nu se poate ști fără calcul.

Cum se calculează mediana?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cum găsești mediana unui set de date

Ordonezi întâi datele crescător — pasul acesta nu se sare niciodată. Dacă numărul de date este impar, mediana este termenul aflat pe poziția $\frac{n + 1}{2}$ . Dacă este par, aduni cele două valori centrale și împarți la doi. Pentru $3, 5, 7, 8, 9$ mediana este $7$ ; pentru $3, 5, 7, 8$ mediana este $6$ . Spre deosebire de medie, mediana nu se lasă influențată de valorile foarte mari sau foarte mici.

Mediana unui set de date este valoarea care împarte șirul ordonat crescător în două jumătăți egale ca număr de valori. Primul pas, obligatoriu, este ordonarea — mediana „valorii din mijlocul listei nesortate" nu are niciun sens, pentru că ar depinde de ordinea în care au fost scrise numerele.

Formula depinde de paritatea lui $n$ . Dacă $n$ este impar, mediana este chiar termenul de pe poziția $\frac{n + 1}{2}$ — o valoare care apare în set. Dacă $n$ este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc, de pe pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2} + 1$ , și poate să nu fie o valoare observată.

Din tabelele de frecvențe, mediana se citește direct pe rândul frecvențelor cumulate, căutând poziția (sau pozițiile) din mijloc. Pentru date grupate pe clase se poate determina doar clasa mediană, nu o valoare exactă.

Cea mai mare calitate a medianei este că e robustă: nu se lasă influențată de valori extreme, spre deosebire de medie. Zece salarii cu unul foarte mare au media trasă mult în sus, dar mediana rămâne fixă pe poziția din mijloc — de aceea presa vorbește despre „salariul median", nu despre cel mediu.

De reținut

ordonează crescător, mereu
$n$ impar: termenul de pe poziția $\frac{n + 1}{2}$
$n$ par: media celor două valori din mijloc

Greșeala tipică

Se ia valoarea din mijlocul listei așa cum a fost scrisă, fără ordonare. Pe un șir neordonat, termenul central nu are nicio legătură cu mediana, iar rezultatul depinde de ordinea culegerii datelor.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru setul de date $5, 2, 9, 13, 7, 11, 4$ , care este mediana?
- a) $7$
- b) $5$
- c) $9$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7$

Ordonăm crescător: $2, 4, 5, 7, 9, 11, 13$ . Cum $n = 7$ este impar, mediana este pe poziția $\frac{7 + 1}{2} = 4$ , adică al patrulea termen: $Q_{2} = 7$ .
Pentru setul de date $12, 18, 7, 25, 14, 9$ , care este mediana?
- a) $12$
- b) $13$
- c) $14$
- d) $12, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $13$

Ordonăm: $7, 9, 12, 14, 18, 25$ . Cum $n = 6$ este par, mediana este media termenilor de pe pozițiile $3$ și $4$ : $Q_{2} = \frac{12 + 14}{2} = 13$ .
Într-un șir ordonat crescător cu $n = 9$ valori distincte, mărim ultima valoare (cea mai mare), fără să-i schimbăm poziția de cea mai mare din șir. Ce se întâmplă cu mediana?
- a) Crește, pentru că cea mai mare valoare a crescut.
- b) Scade.
- c) Rămâne neschimbată.
- d) Nu se poate ști fără calcul.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Rămâne neschimbată.

Mediana depinde doar de poziția valorilor, nu de mărimea lor. Cum valoarea rămâne tot ultima din șirul ordonat, poziția centrală (a cincea, pentru $n = 9$ ) nu se schimbă, deci nici mediana.

Întrebări conexe

Ce poziție ocupă mediana într-un șir cu $25$ de valori?

Poziția $13$ , obținută din formula $\frac{n + 1}{2}$ cu $n = 25$ . Rezultatul este un număr de ordine, nu valoarea medianei: al treisprezecelea termen al șirului ordonat poate fi orice număr, în funcție de date.

Poate mediana să fie o valoare care nu apare în set?

Da, atunci când numărul de date este par. Mediana lui $4, 6, 7, 9$ iese $6, 5$ , un număr care lipsește din listă. La un număr impar de date, mediana este întotdeauna unul dintre termenii setului.

Ce este clasa mediană la date grupate?

Este intervalul în care cade poziția din mijloc, citit din coloana frecvențelor cumulate. La date grupate nu poți da o valoare exactă a medianei, ci doar intervalul care o conține, fiindcă valorile individuale s-au pierdut prin grupare.

De ce se vorbește despre salariul median, nu despre cel mediu?

Fiindcă mediana arată ce câștigă persoana din mijloc, în timp ce media este ridicată de câteva salarii foarte mari. Pe aceleași date, cele două numere pot diferi mult, iar mediana descrie mai fidel situația majorității.

Ce înseamnă că mediana este robustă?

Înseamnă că nu se schimbă atunci când o valoare extremă se depărtează și mai mult. Ea depinde doar de poziția din mijloc, nu de mărimea valorilor de la capete, spre deosebire de medie, care se mută la fiecare schimbare.

Se schimbă mediana dacă adaug o valoare foarte mare?

Se schimbă puțin, fiindcă adăugarea unui termen mută poziția din mijloc cu jumătate de pas, dar noua mediană rămâne tot printre valorile centrale. Media, în schimb, poate crește oricât de mult, în funcție de valoarea adăugată.

Oamenii mai întreabă și: mediana unui set de date · cum aflu mediana · mediana la număr par de date · valoarea din mijloc a unui șir ordonat