Care este a doua etapă a unei demonstrații prin inducție matematică?

pasul inductiv: din $$P(k)$$ adevărată rezultă $$P(k+1)$$ adevărată

etapa de verificare, pentru $$n=1$$

enumerarea primelor $$10$$ cazuri particulare

demonstrarea directă a lui $$P(n)$$ pentru un $$n$$ fixat, oarecare

Expresia $$E(n)=n^2+n+41$$ este număr prim pentru $$n=0,1,\dots,39$$. La $$n=40$$, $$E(40)$$ devine:

$$41^2$$, deci nu mai este număr prim

un număr prim, mai mare decât cele de dinainte

Într-o demonstrație prin inducție, „ipoteza de inducție” înseamnă:

că $$P(k)$$ este adevărată pentru un $$k \ge 1$$ fixat

că $$P(k+1)$$ este deja adevărată

Ce este inducția matematică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Inducția matematică: principiul dominoului

Este metoda prin care se dovedește o afirmație pentru toate numerele naturale, folosind două etape obligatorii. Întâi verifici direct că afirmația este adevărată la primul rang. Apoi presupui că este adevărată pentru un rang oarecare fixat și demonstrezi că de aici rezultă și pentru rangul următor. Funcționează ca un șir de piese de domino: prima cade, iar fiecare o dărâmă pe următoarea.

Metoda inducției matematice demonstrează că o afirmație $P (n)$ este adevărată pentru toate numerele naturale $n \geq 1$ , prin analogie cu dominoul: dacă prima piesă cade și fiecare piesă o dărâmă pe următoarea, cad toate. Are două etape obligatorii: etapa de verificare (arăți că $P (1)$ este adevărată, prin calcul direct) și etapa de demonstrație sau pasul inductiv (presupui, ca ipoteză de inducție, că $P (k)$ este adevărată pentru un $k \geq 1$ fixat, și demonstrezi că rezultă $P (k + 1)$ ).

Un lucru esențial de reținut: verificarea oricâtor cazuri particulare nu este o demonstrație. Expresia $E (n) = n^{2} + n + 41$ este primă pentru $n = 0, 1, \dots, 39$ , dar $E (40) = 4 0^{2} + 40 + 41 = 1681 = 4 1^{2}$ , care nu e prim — patruzeci de succese nu au valorat nimic ca demonstrație.

Exemplul clasic complet este suma lui Gauss: $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Verificarea: $n = 1$ dă $1 = 1$ . Pasul inductiv: din $1 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ rezultă, adunând $k + 1$ , exact formula pentru $k + 1$ . În pasul inductiv nu se presupune concluzia (adevărul pentru toate valorile), ci doar o singură verigă, $P (k)$ , din care se deduce următoarea.

De reținut

etapa de verificare: afirmația se testează la primul rang
pasul inductiv: din rangul $k$ rezultă rangul $k + 1$
verificarea unor cazuri particulare nu ține loc de demonstrație

Greșeala tipică

Se scrie „presupunem că afirmația este adevărată pentru orice $n$ ”, ceea ce înseamnă chiar concluzia. Corect se presupune doar pentru un singur rang fixat, iar de acolo se trece la următorul.

Exerciții din această mini-lecție

Care este a doua etapă a unei demonstrații prin inducție matematică?
- a) etapa de verificare, pentru $n = 1$
- b) pasul inductiv: din $P (k)$ adevărată rezultă $P (k + 1)$ adevărată
- c) enumerarea primelor $10$ cazuri particulare
- d) demonstrarea directă a lui $P (n)$ pentru un $n$ fixat, oarecare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pasul inductiv: din $P (k)$ adevărată rezultă $P (k + 1)$ adevărată

A doua etapă (etapa de demonstrație) constă în a presupune $P (k)$ adevărată pentru un $k \geq 1$ fixat (ipoteza de inducție) și a arăta că rezultă $P (k + 1)$ . Prima etapă (verificarea lui $P (1)$ ) este prima, nu a doua; c) nu este niciodată o demonstrație, iar d) confundă pasul inductiv cu concluzia finală.
Expresia $E (n) = n^{2} + n + 41$ este număr prim pentru $n = 0, 1, \dots, 39$ . La $n = 40$ , $E (40)$ devine:
- a) un număr prim, mai mare decât cele de dinainte
- b) $4 1^{2}$ , deci nu mai este număr prim
- c) $0$
- d) un număr negativ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 1^{2}$ , deci nu mai este număr prim

$E (40) = 4 0^{2} + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 4 1^{2}$ , care are trei divizori ( $1$ , $41$ , $1681$ ), deci nu este prim. Contraexemplul arată exact ce spune lecția: patruzeci de verificări reușite nu demonstrează nimic despre toate numerele naturale.
Într-o demonstrație prin inducție, „ipoteza de inducție” înseamnă:
- a) că $P (n)$ este adevărată pentru toate numerele naturale
- b) că $P (k)$ este adevărată pentru un $k \geq 1$ fixat
- c) că $P (1)$ este falsă
- d) că $P (k + 1)$ este deja adevărată
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) că $P (k)$ este adevărată pentru un $k \geq 1$ fixat

Ipoteza de inducție presupune o singură verigă a lanțului, $P (k)$ , pentru un $k$ fixat — nu concluzia finală, care este tocmai ce vrem să demonstrăm. Varianta a) este greșeala clasică: a presupune concluzia.

Întrebări conexe

De ce expresia n la pătrat plus n plus 41 nu dă mereu numere prime?

Pentru că se strică exact la $n = 40$ , unde rezultatul este $1681 = 4 1^{2}$ . Până acolo, patruzeci de valori consecutive dau numere prime, ceea ce ar putea convinge pe oricine. Exemplul arată de ce verificările, oricât de multe, nu înlocuiesc o demonstrație.

Cum demonstrez prin inducție suma primelor n numere naturale?

Verifici întâi că la primul rang formula dă $1$ . Apoi presupui că suma până la $k$ este $\frac{k ( k + 1 )}{2}$ și adaugi termenul următor: rezultatul se aranjează în $\frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ , adică exact formula pentru rangul următor.

Ce scriu în concluzia unei demonstrații prin inducție?

O frază care leagă cele două etape: fiindcă afirmația este adevărată la primul rang și fiindcă din fiecare rang rezultă următorul, ea este adevărată pentru orice număr natural din domeniul cerut. Fără această încheiere, demonstrația rămâne un calcul, nu un raționament.

Se poate face inducție și pentru numere întregi negative?

În forma studiată la liceu, nu: metoda merge pe numere naturale, unde există un prim rang și un pas de la un număr la următorul. Există variante mai avansate pentru alte mulțimi, dar ele nu intră în programa de liceu.

Ce înseamnă că pasul inductiv este o implicație?

Că nu se dovedește adevărul afirmației la rangul $k$ , ci doar legătura: dacă ar fi adevărată acolo, atunci este adevărată și la rangul următor. Adevărul propriu-zis intră în lanț prin etapa de verificare, care pornește totul.

Cum arată o demonstrație prin inducție pe foaia de examen?

Cu patru părți clar despărțite: enunțul afirmației notate cu o literă, verificarea la primul rang, ipoteza scrisă explicit pentru un rang fixat și calculul care duce la rangul următor. Baremul acordă puncte separat pentru fiecare parte.

Oamenii mai întreabă și: inducția matematică · metoda inducției · cele două etape ale inducției · ipoteza de inducție · principiul dominoului la demonstrații