Cum se calculează modulul unui număr complex?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Modulul unui număr complex

Aduni pătratele celor două părți și extragi radicalul: $∣ a + bi ∣ = a^{2} + b^{2}$ . Rezultatul nu coboară niciodată sub zero și măsoară cât de departe se află de origine punctul care reprezintă numărul în plan. Astfel $∣8 - 15 i ∣ = 64 + 225 = 17$ . Relația cheie pentru demonstrații este $∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ , care scapă de radical. Modulul se poartă frumos la înmulțire, împărțire și putere, dar nu și la adunare.

Modulul lui $z = a + bi$ este numărul real nenegativ $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ , egal cu distanța de la origine la punctul care reprezintă $z$ în plan. Relația-cheie este $∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ , care transformă demonstrațiile despre module în calcule algebrice, fără radicali.

Proprietăți de simetrie: $∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ - z ∣$ , iar $∣ Re z ∣ \leq ∣ z ∣$ și $∣ Im z ∣ \leq ∣ z ∣$ .

Modulul se comportă frumos la înmulțire, împărțire și putere:

$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣, \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}, ∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n},$

ceea ce permite calcularea rapidă a unor module fără a efectua produsul sau puterea. La adunare însă modulul NU e aditiv: $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \neq = ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ în general (contraexemplu: $1$ și $i$ ), ci are loc doar inegalitatea triunghiului $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ .

La exercițiile de tipul „determină $z$ știind $∣ z ∣ = r$ și încă o condiție”, ridici la pătrat direct din $∣ z ∣ = r$ (obții $a^{2} + b^{2} = r^{2}$ , fără radical) și nu uiți niciodată ambele soluții ale ecuației de gradul al doilea rezultate.

De reținut

$∣ a + bi ∣ = a^{2} + b^{2} \geq 0$
$∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ ; $∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ - z ∣$
$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ , $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ , dar $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$

Greșeala tipică

Se adună pătratele părților și se uită radicalul, deci se raportează $a^{2} + b^{2}$ drept modul. Acela este pătratul modulului; răspunsul cerut este rădăcina lui.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $∣8 - 15 i ∣$ .
- a) $17$
- b) $7$
- c) $23$
- d) $289$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $17$

$∣8 - 15 i ∣ = 64 + 225 = 289 = 17$ . Varianta d) uită să extragă radicalul.
Fie $z_{1} = 6 + 8 i$ și $z_{2} = 3 - 4 i$ . Calculați $∣ z_{1} z_{2} ∣$ fără a efectua produsul.
- a) $10$
- b) $50$
- c) $25$
- d) $500$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $50$

$∣ z_{1} ∣ = 36 + 64 = 10$ , $∣ z_{2} ∣ = 9 + 16 = 5$ , deci $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣ = 10 \cdot 5 = 50$ .
Calculați $∣ (2 + 2 i)^{6} ∣$ folosind proprietatea puterii.
- a) $256$
- b) $64$
- c) $512$
- d) $128$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $512$

$∣2 + 2 i ∣ = 8 = 22$ , deci $∣ (2 + 2 i)^{6} ∣ = (22)^{6} = 2^{6} \cdot 2^{3} = 64 \cdot 8 = 512$ .

Întrebări conexe

Cât face modulul lui 8 minus 15i?

Aduni pătratele părților: $64 + 225 = 289$ , apoi extragi radicalul și obții $17$ . Semnul minus de la partea imaginară nu contează, fiindcă ridicarea la pătrat îl șterge. Uitarea radicalului ar lăsa răspunsul la $289$ , ceea ce este greșit.

Ce legătură are modulul cu conjugatul și cu opusul?

Toate trei au aceeași valoare: $∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ - z ∣$ . Conjugarea oglindește punctul față de axa orizontală, iar opusul îl rotește cu o jumătate de tură; niciuna dintre mișcări nu schimbă depărtarea față de origine. De aceea semnele părților nu contează în formulă.

Ce mărginiri dau părțile unui număr față de modulul lui?

Fiecare parte, luată în valoare absolută, este cel mult egală cu modulul: $∣ Re z ∣ \leq ∣ z ∣$ și $∣ Im z ∣ \leq ∣ z ∣$ . Egalitatea apare doar când cealaltă parte se anulează, adică la numere reale sau pur imaginare. Relațiile ies direct din formula cu radical.

Ce valoare pozitivă are m dacă modulul lui m plus 12i este 13?

Condiția înseamnă $m^{2} + 144 = 169$ , deci $m^{2} = 25$ și $m = \pm 5$ . Enunțul cere valoarea pozitivă, așa că răspunsul este $m = 5$ . Numerele $5$ , $12$ și $13$ formează un triplet pitagoreic, ceea ce explică rezultatul frumos.

De ce nu este modulul aditiv față de adunare?

Pentru că el măsoară o distanță, iar distanțele nu se adună decât când direcțiile coincid. Pentru $1$ și $i$ , fiecare are modulul $1$ , dar suma lor are modulul $2$ , nu $2$ . Rămâne valabilă doar inegalitatea triunghiului.

Ce relație leagă modulul la pătrat de produsul cu conjugatul?

Egalitatea $∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ , care se verifică imediat: produsul dă $a^{2} + b^{2}$ , adică exact pătratul modulului. Ea transformă orice demonstrație despre module într-un calcul algebric fără radicali, ceea ce o face foarte comodă.

Oamenii mai întreabă și: modulul unui număr complex · cum calculez modulul lui 3 plus 4i · modul de z formula · modulul produsului este produsul modulelor · distanța de la origine la afix