Pot forma un triunghi segmentele de $$4$$ cm, $$5$$ cm și $$10$$ cm?

nu, nu se poate forma un triunghi

Cum aflu natura unui triunghi din laturi?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Natura triunghiului din laturi

Ordonezi lungimile și notezi cu $a$ pe cea mai lungă, apoi compari $a^{2}$ cu $b^{2} + c^{2}$ . Dacă $a^{2} < b^{2} + c^{2}$ triunghiul este ascuțitunghic, dacă $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ este dreptunghic, iar dacă $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ este obtuzunghic. De pildă, pentru $9$ , $12$ și $15$ ai $81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ , deci un triunghi dreptunghic. Înainte de comparație verifici că lungimile chiar formează un triunghi.

Din trei lungimi poți afla, fără raportor, dacă triunghiul este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic. Pasul zero este mereu inegalitatea triunghiului: cea mai mare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două, altfel triunghiul nici nu există.

Natura triunghiului e hotărâtă de cel mai mare unghi, care este opus celei mai mari laturi. Cu $a$ notată chiar acea latură cea mai mare, criteriul complet este: $a^{2} < b^{2} + c^{2} \Rightarrow$ ascuțitunghic; $a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow$ dreptunghic (este exact **reciproca teoremei lui Pitagora**); $a^{2} > b^{2} + c^{2} \Rightarrow$ obtuzunghic.

Explicația stă în teorema cosinusului: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , iar numitorul fiind pozitiv, semnul lui $cos A$ este dat de numărător — exact comparația din criteriu.

Greșeli frecvente: compararea cu o altă latură decât cea mai mare (trebuie ordonate lungimile întâi), sărirea peste verificarea existenței triunghiului, confuzia dintre „isoscel/echilateral” (despre laturi) și „ascuțitunghic/dreptunghic/obtuzunghic” (despre unghiuri) — un triunghi poate fi, de exemplu, isoscel și obtuzunghic simultan — și ridicarea la pătrat doar a unei părți din inegalitate.

De reținut

$a$ = latura cea mai lungă
$a^{2} < b^{2} + c^{2}$ : ascuțitunghic; $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ : dreptunghic; $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ : obtuzunghic
întâi inegalitatea triunghiului

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat prima latură din enunț, nu cea mai lungă. Comparația trebuie făcută întotdeauna pentru latura mare, fiindcă doar unghiul din fața ei poate fi drept sau obtuz.

Exerciții din această mini-lecție

Criteriul naturii triunghiului, cu $a$ latura cea mai mare, spune că triunghiul este obtuzunghic dacă:
- a) $a^{2} > b^{2} + c^{2}$
- b) $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
- c) $a < b + c$
- d) $a^{2} < b^{2} + c^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a^{2} > b^{2} + c^{2}$

Când pătratul laturii celei mai mari depășește suma celorlalte două pătrate, unghiul opus ei este obtuz.
Pot forma un triunghi segmentele de $4$ cm, $5$ cm și $10$ cm?
- a) da, obtuzunghic
- b) nu, nu se poate forma un triunghi
- c) da, dreptunghic
- d) da, ascuțitunghic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu, nu se poate forma un triunghi

$4 + 5 = 9 < 10$ , deci inegalitatea triunghiului este încălcată — nu există niciun triunghi cu aceste lungimi.
Un triunghi cu laturile $5$ , $5$ și $9$ este simultan:
- a) echilateral și dreptunghic
- b) scalen și dreptunghic
- c) isoscel și obtuzunghic
- d) isoscel și ascuțitunghic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) isoscel și obtuzunghic

Are două laturi egale (isoscel). Latura mare e $9$ : $9^{2} = 81$ față de $5^{2} + 5^{2} = 50$ ; cum $81 > 50$ , este obtuzunghic.

Întrebări conexe

Cum se schimbă natura triunghiului dacă măresc doar latura cea mai lungă?

Trece dinspre ascuțitunghic spre dreptunghic și apoi spre obtuzunghic, fiindcă pătratul ei crește mai repede decât suma celorlalte două pătrate. Mărind-o și mai mult, ajunge să întreacă suma celorlalte laturi, iar figura nu se mai poate închide.

De ce trebuie ordonate lungimile înainte de a stabili natura triunghiului?

Fiindcă unghiul cel mai mare se află în fața celei mai lungi laturi, iar doar el poate fi drept sau obtuz. Dacă ridici la pătrat altă latură, comparația iese aproape sigur în favoarea sumei și ai concluziona greșit că triunghiul este ascuțitunghic.

Ce arată diferența dintre pătratul laturii mari și suma celorlalte două pătrate?

Ea are același semn cu cosinusul unghiului mare, fiindcă numitorul din formula cosinusului este pozitiv. O diferență negativă înseamnă unghi ascuțit, zero înseamnă unghi drept, iar una pozitivă înseamnă unghi obtuz. Valoarea ei arată și cât de departe este triunghiul de cazul dreptunghic.

De ce nu se pot afla unghiurile exacte doar din criteriul naturii?

Fiindcă el compară numai două numere și spune dacă unghiul mare este ascuțit, drept sau obtuz, fără să dea o măsură. Pentru valoarea unghiului ai nevoie de teorema cosinusului, care întoarce cosinusul lui, nu doar semnul unei diferențe.

Ce natură are un triunghi cu toate laturile egale?

Este ascuțitunghic, fiindcă pătratul oricărei laturi rămâne sub suma celorlalte două pătrate: $l^{2} < 2 l^{2}$ . Toate unghiurile lui măsoară 60 de grade, deci criteriul dă același răspuns indiferent de latura aleasă drept cea mare.

Ce triunghiuri au laturi numere întregi și un unghi drept?

Cele ale căror laturi formează un triplet pitagoreic, ca 3, 4, 5 sau 5, 12, 13. Înmulțind un asemenea triplet cu același număr se obțin altele, tot cu laturi întregi, iar natura triunghiului rămâne neschimbată.

Oamenii mai întreabă și: natura triunghiului · cum știu dacă un triunghi este obtuzunghic · triunghi ascuțitunghic dreptunghic sau obtuzunghic · criteriul naturii triunghiului din laturi · reciproca teoremei lui Pitagora