Pe mulțimea $$A = \{1,\, 2,\, 3\}$$ se dau patru corespondențe. Care dintre ele NU este funcție?

lui $$1$$ îi asociem $$4$$, lui $$2$$ îi asociem $$4$$ și $$6$$, lui $$3$$ îi asociem $$7$$

fiecărui număr îi asociem numărul însuși

lui $$1$$, lui $$2$$ și lui $$3$$ le asociem, tuturor, valoarea $$5$$

Pe o foaie sunt desenate patru curbe. Care dintre ele NU poate fi graficul unei funcții?

o parabolă cu ramurile în sus

graficul funcției $$f(x) = \sqrt{x}$$

Ce este o funcție în matematică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcție: domeniu, codomeniu, valori

Este o regulă care leagă două mulțimi astfel încât fiecărui element din prima să îi revină exact o valoare din a doua. Se scrie $f : A \to B$ , unde $A$ este domeniul de definiție, iar $B$ codomeniul. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ , lui $3$ îi corespunde $7$ . Valorile atinse efectiv formează imaginea funcției, care poate fi mai mică decât codomeniul.

O funcție $f : A \to B$ este o regulă care îi dă fiecărui element $x$ din $A$ exact o valoare $f (x)$ din $B$ . Cuvântul cheie e „exact una": nici zero, nici două.

Mulțimea $A$ se numește domeniu de definiție, mulțimea $B$ se numește codomeniu, iar $f (x)$ este valoarea (sau imaginea) lui $x$ . Toate valorile luate efectiv formează imaginea funcției — o parte din codomeniu, nu neapărat tot codomeniul.

Cel mai rapid test se face pe grafic, fără nicio formulă: plimbă o dreaptă verticală peste desen. Dacă undeva dreapta taie curba în două puncte, acel $x$ ar avea două valori, deci nu e funcție. Un cerc pică testul; o parabolă îl trece.

Citirea unei valori e tot un gest, nu un calcul: pornești de la $x$ pe axa orizontală, urci până la grafic, apoi mergi orizontal până pe axa verticală și citești $f (x)$ . Punctele desenate sunt mereu de forma $(x, f (x))$ — prima coordonată e ce pui, a doua e ce iese.

Atenție la ordinea coordonatelor: punctul $(4, 2)$ spune $f (4) = 2$ , nu $f (2) = 4$ . E greșeala care se plătește cel mai des la lecturi grafice.

De reținut

fiecărui element din domeniu îi revine exact o valoare
$f : A \to B$ , cu $A$ domeniul și $B$ codomeniul
imaginea este partea din codomeniu chiar atinsă de funcție

Greșeala tipică

Se acceptă o corespondență în care un element de la plecare ajunge la două rezultate, ceea ce nu mai este funcție. Condiția se verifică pe domeniu: fiecare argument trebuie să aibă o valoare și numai una.

Exerciții din această mini-lecție

Pe mulțimea $A = {1, 2, 3}$ se dau patru corespondențe. Care dintre ele NU este funcție?
- a) fiecărui număr îi asociem dublul lui
- b) fiecărui număr îi asociem numărul însuși
- c) lui $1$ , lui $2$ și lui $3$ le asociem, tuturor, valoarea $5$
- d) lui $1$ îi asociem $4$ , lui $2$ îi asociem $4$ și $6$ , lui $3$ îi asociem $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) lui $1$ îi asociem $4$ , lui $2$ îi asociem $4$ și $6$ , lui $3$ îi asociem $7$

Corespondența în care lui $2$ i se asociază două valori ( $4$ și $6$ ) strică exact regula „exact o valoare pentru fiecare $x$ ", deci ea nu e funcție. Cea în care toate trei numerele primesc valoarea $5$ e perfect legală: mai mulți $x$ pot avea aceeași valoare (e o funcție constantă), interzis e ca un $x$ să aibă mai multe.
Pe o foaie sunt desenate patru curbe. Care dintre ele NU poate fi graficul unei funcții?
- a) o dreaptă oblică
- b) o parabolă cu ramurile în sus
- c) un cerc cu centrul în origine
- d) graficul funcției $f (x) = x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) un cerc cu centrul în origine

Testul dreptei verticale: la cerc, o verticală dusă prin interiorul lui taie curba în două puncte, deci acel $x$ ar avea două valori. Parabola trece testul (orice verticală o taie o singură dată), iar dreapta oblică și $x$ la fel.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 5$ . Cât este $f (- 2)$ ?
- a) $- 11$
- b) $- 1$
- c) $1$
- d) $11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 11$

Înlocuiești $x$ cu $- 2$ peste tot: $f (- 2) = 3 \cdot (- 2) - 5 = - 6 - 5 = - 11$ . Răspunsul $- 1$ apare dacă scazi $5$ din $- 6$ greșit, iar $11$ dacă uiți semnul lui $- 2$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că o funcție este dată printr-un tabel?

Că legătura dintre elemente este arătată printr-o listă, nu printr-o formulă. Pe primul rând stau argumentele, pe al doilea valorile care le corespund. Metoda merge doar la domenii cu puține elemente, dar arată limpede condiția cerută: fiecare argument apare o singură dată.

Poate codomeniul să fie mai mare decât mulțimea valorilor?

Da, și nu este nicio problemă. Codomeniul spune doar unde căutăm rezultatele, iar imaginea spune care dintre ele sunt atinse cu adevărat. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , codomeniul cuprinde toate numerele reale, dar imaginea doar pe cele mai mari sau egale cu zero.

Cum se scrie o funcție descrisă prin cuvinte?

Traduci regula într-o formulă și adaugi cele două mulțimi. „Fiecărui număr îi asociem dublul lui micșorat cu trei” devine $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Fără domeniu și codomeniu, scrierea rămâne neterminată.

Ce se schimbă dacă micșorez domeniul unei funcții?

Obții o funcție nouă, chiar dacă formula rămâne aceeași. Restrângerea poate schimba imaginea și proprietățile: $f (x) = x^{2}$ nu urcă peste tot pe mulțimea numerelor reale, dar devine crescătoare dacă domeniul se reduce la numerele pozitive.

Ce este o funcție constantă?

Una care dă aceeași valoare pentru orice argument, de exemplu $f (x) = 5$ . Graficul ei este o dreaptă orizontală, iar imaginea are un singur element. Deși pare săracă, ea respectă definiția: fiecare argument primește exact o valoare.

Sunt aceeași funcție două formule identice pe domenii diferite?

Nu, ele sunt funcții diferite. Legea de asociere este aceeași, dar domeniul face parte din definiție, deci schimbarea lui dă alt obiect matematic. De aceea o funcție se scrie mereu cu tot cu cele două mulțimi, nu doar cu formula.

Oamenii mai întreabă și: ce este o funcție · domeniu și codomeniu · diferența dintre domeniu și codomeniu · cum recunosc o funcție · notația f de la A la B