Pentru punctele $$A(2,-1)$$ și $$B(5,8)$$, care calcul dă corect panta dreptei $$AB$$?

$$m=\dfrac{8-(-1)}{5-2}=\dfrac{9}{3}=3$$

$$m=\dfrac{8-(-1)}{2-5}=\dfrac{9}{-3}=-3$$

$$m=\dfrac{5-2}{8-(-1)}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$$

$$m=\dfrac{8-(-1)}{5+2}=\dfrac{9}{7}$$

Care dintre afirmațiile despre pantă este corectă?

O dreaptă orizontală are panta $$0$$, iar o dreaptă verticală nu are pantă

O dreaptă verticală are panta $$0$$, iar o dreaptă orizontală nu are pantă

Ambele tipuri de drepte au panta egală cu $$0$$

O dreaptă verticală are panta infinită

Cum se calculează panta unei drepte?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Panta dreptei ca raport al variațiilor

Iei două puncte de pe dreaptă și împarți diferența ordonatelor la diferența absciselor: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 8)$ iese $m = \frac{6}{3} = 2$ . Rezultatul nu depinde de punctele alese, dar ordinea scăderilor trebuie să fie aceeași sus și jos. Semnul arată dacă dreapta urcă sau coboară, iar modulul arată cât de abruptă este.

Panta unei drepte este numărul care descrie complet direcția ei. Pentru $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ , cu $x_{1} \neq = x_{2}$ , se definesc variațiile $Δ x = x_{2} - x_{1}$ (orizontală) și $Δ y = y_{2} - y_{1}$ (verticală), iar panta este raportul lor: $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Panta nu depinde de perechea de puncte aleasă pe dreaptă (se demonstrează prin triunghiuri asemenea) și nici de ordinea lor — important e să respecți aceeași ordine sus și jos. Semnul dă sensul: $m > 0$ dreapta urcă, $m < 0$ dreapta coboară, $m = 0$ dreapta este orizontală. Modulul dă înclinarea: cu cât $∣ m ∣$ e mai mare, cu atât dreapta e mai abruptă; $m = 1$ corespunde unui unghi de $45°$ cu $O x$ . Dreapta verticală nu are pantă ( $Δ x = 0$ , împărțire nedefinită) — greșit e să spui „panta e infinită”. Din ecuația $y = m x + n$ , panta este coeficientul lui $x$ ; din forma generală, se izolează $y$ întâi — de exemplu din $2 x - 3 y + 6 = 0$ obții $y = \frac{2}{3} x + 2$ , deci $m = \frac{2}{3}$ . În aplicații, panta se citește ca rată de variație: cu cât se schimbă $y$ când $x$ crește cu $1$ , cu unitate de măsură compusă (de exemplu lei pe kilometru). Transformarea în procente: $m \cdot 100%$ .

De reținut

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
dreapta verticală nu are pantă
din $y = m x + n$ , panta este coeficientul lui $x$

Greșeala tipică

Se împarte diferența absciselor la cea a ordonatelor, deci panta iese răsturnată. La numărător stă mereu variația pe verticală, iar la numitor cea pe orizontală.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru punctele $A (2, - 1)$ și $B (5, 8)$ , care calcul dă corect panta dreptei $A B$ ?
- a) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$
- b) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{2 - 5} = \frac{9}{- 3} = - 3$
- c) $m = \frac{5 - 2}{8 - ( - 1 )} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
- d) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{5 + 2} = \frac{9}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$

Panta este $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ : la numărător $8 - (- 1) = 9$ , la numitor $5 - 2 = 3$ , deci $m = 3$ . Varianta b amestecă ordinea — la numărător ia „al doilea minus primul”, dar la numitor ia „primul minus al doilea”; rezultă panta cu semn schimbat, exact greșeala „ordinea amestecată în formulă”. Varianta c calculează panta răsturnată, $\frac{Δ x}{Δ y}$ în loc de $\frac{Δ y}{Δ x}$ . Varianta d transformă greșit scăderea $5 - 2$ într-o adunare la numitor.
Care dintre afirmațiile despre pantă este corectă?
- a) O dreaptă orizontală are panta $0$ , iar o dreaptă verticală nu are pantă
- b) O dreaptă verticală are panta $0$ , iar o dreaptă orizontală nu are pantă
- c) Ambele tipuri de drepte au panta egală cu $0$
- d) O dreaptă verticală are panta infinită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) O dreaptă orizontală are panta $0$ , iar o dreaptă verticală nu are pantă

Pentru o dreaptă orizontală, $Δ y = 0$ pentru orice pereche de puncte, deci $m = 0$ — dreapta are pantă, egală cu zero. Pentru o dreaptă verticală, $Δ x = 0$ , iar raportul $\frac{Δ y}{0}$ nu este definit, deci dreapta nu are pantă. Variantele b și c inversează sau confundă aceste două situații distincte. Varianta d comite exact greșeala semnalată explicit în lecție: „panta este infinită” este o formulare greșită, respinsă la examen — corect este „dreaptă verticală, fără pantă”.
Care este panta dreptei $3 x + 4 y - 8 = 0$ ?
- a) $m = - \frac{3}{4}$
- b) $m = 3$
- c) $m = \frac{3}{4}$
- d) $m = - 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m = - \frac{3}{4}$

Izolăm $y$ : $4 y = - 3 x + 8$ , deci $y = - \frac{3}{4} x + 2$ , iar panta este coeficientul lui $x$ , adică $m = - \frac{3}{4}$ . Varianta b citește greșit coeficientul lui $x$ direct din forma generală, fără să izoleze $y$ — exact greșeala „citirea pantei fără a izola $y$ ” semnalată în lecție. Varianta c pierde semnul minus la împărțire. Varianta d confundă panta cu coeficientul lui $y$ din ecuația inițială.

Întrebări conexe

Ce unghi face cu axa orizontală o dreaptă cu panta 1?

Unul de $4 5^{\circ}$ , fiindcă la fiecare pas spre dreapta dreapta urcă tot cu o unitate. Triunghiul format este dreptunghic isoscel, deci unghiurile ascuțite sunt egale. La panta $- 1$ unghiul este tot de $4 5^{\circ}$ , dar dreapta coboară.

De ce panta iese aceeași, oricare două puncte aș alege?

Pentru că triunghiurile formate de perechile de puncte cu direcțiile axelor sunt asemenea, deci rapoartele laturilor lor coincid. Această proprietate face din pantă un număr atașat dreptei, nu perechii de puncte.

Ce pantă au două drepte perpendiculare?

Produsul pantelor lor este $- 1$ , deci una este opusul inversului celeilalte: pantei $2$ îi corespunde $- \frac{1}{2}$ . Regula nu se poate folosi la perechea formată dintr-o orizontală și o verticală, fiindcă verticala nu are pantă.

Cum arată o dreaptă cu panta foarte mare?

Aproape verticală: la un pas mic spre dreapta ea urcă foarte mult. Cu cât valoarea absolută a pantei crește, cu atât dreapta se apropie de verticală, fără să ajungă vreodată acolo, fiindcă verticala nu are pantă.

Ce înseamnă o pantă de 8 la sută pe un indicator rutier?

Că drumul urcă $8$ metri pentru fiecare sută de metri măsurați pe orizontală. Exprimat ca raport, este panta $0, 08$ . Trecerea de la un mod de scriere la celălalt se face înmulțind sau împărțind cu $100$ .

Cum aflu panta dintr-un tabel cu două măsurători?

Împarți diferența valorilor la diferența momentelor. Dacă la ora $2$ erau $30$ de litri și la ora $5$ erau $18$ , panta este $\frac{18 - 30}{5 - 2} = - 4$ litri pe oră. Semnul minus arată că rezervorul se golește.

Oamenii mai întreabă și: panta unei drepte formula · panta dreptei · formula panta · cum aflu panta din două puncte · ce înseamnă pantă negativă