Ce sunt permutările?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Permutări: definiție și formulă

Sunt așezările în care folosești toate elementele unei mulțimi, fiecare o singură dată, iar ordinea contează. Numărul lor este $P_{n} = n!$ , rezultat din regula produsului: prima poziție are $n$ variante, a doua $n - 1$ și tot așa până la ultima, care are una. De pildă, patru prieteni se pot așeza pe patru scaune numerotate în $4! = 24$ de moduri. Prin convenție $P_{0} = 1$ , singurul fel de a ordona zero elemente.

O permutare a unei mulțimi cu $n$ elemente este o așezare a tuturor elementelor într-o ordine, fiecare apărând exact o dată. Numărul lor, $P_{n}$ , se demonstrează cu regula produsului: $n$ variante pentru prima poziție, $n - 1$ pentru a doua, …, $1$ pentru ultima, deci $P_{n} = n! = n (n - 1) (n - 2) \dots 1.$ Convenția $P_{0} = 1$ corespunde singurului mod de a ordona zero elemente: nu ordonezi nimic.

O problemă este de permutări doar dacă trece trei teste: se folosesc toate elementele, ordinea contează, iar elementele sunt distincte. Dacă nu se folosesc toate elementele, e vorba de aranjamente; dacă ordinea nu contează, de combinări; dacă elementele se repetă, formula nu se aplică direct.

Anagramele unui cuvânt cu litere distincte se numără la fel: un cuvânt cu $n$ litere distincte are $P_{n} = n!$ anagrame (inclusiv cuvântul original). O poziție fixată (de exemplu, «începe cu litera X») dispare din calcul — rămâi cu permutările celor $n - 1$ elemente libere. La ecuații cu $P_{n}$ , înlocuiești $P_{n}$ cu $n!$ și rezolvi ca la factoriale, verificând că soluția este naturală.

De reținut

$P_{n} = n!$ , cu $P_{0} = 1$
permutări: toate elementele, ordinea contează
cuvânt cu $n$ litere diferite: $n!$ anagrame

Greșeala tipică

Se folosesc permutările și atunci când din grup se aleg doar câțiva membri. Formula $n!$ cere ca toate elementele să intre în așezare; altfel se lucrează cu aranjamente.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $P_{6}$ .
- a) $720$
- b) $36$
- c) $6$
- d) $5040$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $720$

$P_{6} = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$ .
Câte anagrame are cuvântul «BIROU» (litere distincte)?
- a) $25$
- b) $120$
- c) $60$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $120$

Cuvântul are $5$ litere distincte ( $B, I, R, O, U$ ), deci $P_{5} = 5! = 120$ de anagrame.
$4$ prieteni se așază pe $4$ scaune numerotate. În câte moduri?
- a) $4$
- b) $16$
- c) $24$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $24$

Se folosesc toți cei $4$ prieteni, o singură dată, iar ordinea contează (scaunele sunt numerotate): $P_{4} = 4! = 24$ .

Întrebări conexe

Care sunt cele trei teste care arată că o problemă este de permutări?

Folosești toate elementele, nu doar o parte; ordinea în care le așezi schimbă rezultatul; elementele sunt diferite între ele. Dacă alegi doar câteva, ai aranjamente. Dacă ordinea nu contează, ai combinări. Dacă unele elemente se repetă, formula simplă nu se mai aplică direct.

Cât face P de 6?

Este produsul numerelor de la $1$ la $6$ : $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$ . Merită reținute valorile mici, fiindcă apar des la exerciții: $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ și $6! = 720$ . De la $7!$ în sus numerele devin greu de manevrat.

Cât de repede crește factorialul?

Foarte repede: $5!$ face $120$ , $10!$ trece de trei milioane și jumătate, iar $15!$ depășește o mie de miliarde. De aceea problemele de permutări cer răspunsul lăsat sub formă de factorial atunci când numărul de elemente este mare.

Ce se schimbă dacă un cuvânt are litere care se repetă?

Numărul de anagrame scade: se împarte $n!$ la factorialele numerelor de repetări. Cuvântul ABAC are patru litere, dintre care doi de A, deci ies $\frac{4 !}{2 !} = 12$ anagrame, nu $24$ . Împărțirea scoate așezările care arată la fel.

Ce soluție are ecuația P de n egal 5040?

Ecuația înseamnă $n! = 5040$ . Calculezi factorialele în ordine crescătoare: $6! = 720$ , prea puțin, iar $7! = 5040$ , exact cât trebuie. Factorialul crescând strict, nu mai există altă valoare potrivită, deci $n = 7$ este singurul răspuns.

Cum se deduce formula permutărilor din regula produsului?

Așezi elementele pe rând. Pentru primul loc ai $n$ variante, iar după ce l-ai ocupat rămân $n - 1$ pentru al doilea, $n - 2$ pentru al treilea și tot așa, până când ultimul loc are o singură variantă. Înmulțind toate aceste numere obții tocmai $n!$ .

Oamenii mai întreabă și: ce este o permutare · formula permutărilor · câte anagrame are un cuvânt · P de n egal n factorial · în câte moduri se așază n persoane