Ce mulțime de puncte descrie condiția $$\operatorname{Im} z = 4$$?

cercul de rază $$4$$ centrat în $$O$$

Cum reprezint un număr complex în plan?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Planul complex. Afixul

Iei partea reală drept abscisă și partea imaginară drept ordonată: numărului $z = a + bi$ îi corespunde punctul de coordonate $a$ și $b$ . Punctul se numește imaginea geometrică a numărului, iar numărul se numește afixul punctului. Axa orizontală poartă numerele reale, cea verticală pe cele pur imaginare. Distanța de la origine până la imagine este chiar modulul, iar conjugatul se citește ca oglindirea față de axa orizontală.

Fiecărui număr complex $z = a + bi$ îi asociem punctul $M (a, b)$ , numit imaginea geometrică a lui $z$ ; reciproc, $z$ este afixul lui $M$ . Planul astfel înzestrat se numește planul complex (sau planul lui Gauss). Axa $O x$ se numește axă reală (aici stau imaginile numerelor reale), iar $O y$ axă imaginară (aici stau imaginile numerelor pur imaginare).

Ca să afli cadranul unui produs sau al unui cât, aduci întâi numărul la forma algebrică și abia apoi citești semnele — cadranele nu se moștenesc de la factori.

Modulul unui număr are un sens geometric direct: $∣ z ∣$ este distanța de la origine până la imaginea lui. Numerele cu același modul au imaginile pe un cerc centrat în $O$ .

Cele trei simetrii de bază: $\overset{z}{ˉ}$ este simetricul lui $z$ față de axa reală, $- z$ față de origine, iar $- \overset{z}{ˉ}$ față de axa imaginară. Mulțimile de puncte se descriu notând $z = x + y i$ și traducând condiția într-o relație între $x$ și $y$ : $Re z = c$ dă o dreaptă verticală, $Im z = c$ una orizontală, $∣ z ∣ = r$ un cerc.

De reținut

$z = a + bi \leftrightarrow M (a, b)$ ; $z$ = afixul lui $M$
axa $O x$ : numere reale; axa $O y$ : numere pur imaginare
$∣ z ∣$ = distanța de la origine la imagine

Greșeala tipică

Se citește cadranul unui produs din cadranele factorilor. Numărul trebuie adus întâi la forma algebrică, fiindcă semnele părților se schimbă la înmulțire.

Exerciții din această mini-lecție

În ce cadran se află imaginea geometrică a numărului $(- 1 - i) (2 - i)$ ?
- a) cadranul III
- b) cadranul I
- c) cadranul II
- d) cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cadranul III

$(- 1 - i) (2 - i) = - 2 + i - 2 i + i^{2} = - 3 - i$ . Partea reală și cea imaginară sunt ambele negative, deci imaginea se află în cadranul III.
Care este simetricul față de axa reală al punctului care reprezintă $z = - 5 + 9 i$ ?
- a) $(5, 9)$
- b) $(- 5, - 9)$
- c) $(5, - 9)$
- d) $(- 5, 9)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 5, - 9)$

Simetricul față de axa reală este imaginea conjugatului: $\overline{- 5 + 9 i} = - 5 - 9 i$ , cu imaginea $(- 5, - 9)$ .
Ce mulțime de puncte descrie condiția $Im z = 4$ ?
- a) cercul de rază $4$ centrat în $O$
- b) dreapta verticală $x = 4$
- c) dreapta orizontală $y = 4$
- d) semiplanul $y > 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) dreapta orizontală $y = 4$

Cu $z = x + y i$ , condiția devine $y = 4$ : o dreaptă orizontală, paralelă cu axa reală, la $4$ unități deasupra ei.

Întrebări conexe

Ce mulțime de puncte descrie condiția partea imaginară a lui z egal 4?

Scriind $z = x + y i$ , condiția devine $y = 4$ , deci mulțimea este o dreaptă orizontală, paralelă cu axa reală, ridicată cu patru unități deasupra ei. Partea reală rămâne liberă, ceea ce explică de ce apare o dreaptă întreagă, nu un punct.

Ce simetrii leagă un număr, opusul și conjugatul lui pe desen?

Conjugatul este oglindirea față de axa orizontală, opusul este simetricul față de origine, iar opusul conjugatului este oglindirea față de axa verticală. Cele patru puncte formează un dreptunghi cu laturile paralele cu axele, având centrul chiar în origine.

Cum știu în ce cadran cade imaginea unui număr complex?

Te uiți la semnele celor două părți, exact ca la coordonatele unui punct. Ambele pozitive înseamnă primul cadran; partea reală negativă și cea imaginară pozitivă duc în al doilea; ambele negative, în al treilea; iar partea reală pozitivă cu cea imaginară negativă, în al patrulea.

Pentru ce valoare a lui m se află pe axa reală imaginea lui m plus 3, plus 2m minus 6, ori i?

Un punct stă pe axa orizontală când ordonata lui este nulă, deci partea imaginară trebuie să se anuleze: $2 m - 6 = 0$ , adică $m = 3$ . Atunci numărul devine $6$ , un număr real, cum era de așteptat.

Cât este distanța de la origine la imaginea lui minus 5 plus 12i?

Distanța este chiar modulul: $25 + 144 = 169 = 13$ . Semnele părților nu contează, fiindcă intră la pătrat. Toate punctele aflate la aceeași depărtare de origine formează un cerc, deci numerele de modul $13$ se așază pe cercul de rază $13$ .

Câte numere complexe cu ambele părți întregi au modulul 5?

Condiția devine $a^{2} + b^{2} = 25$ , cu $a$ și $b$ întregi. Soluțiile sunt perechile formate din $\pm 5$ și $0$ , din $0$ și $\pm 5$ , din $\pm 3$ și $\pm 4$ , din $\pm 4$ și $\pm 3$ . Numărându-le, ies douăsprezece.

Oamenii mai întreabă și: planul complex · imaginea geometrică a unui număr complex · ce este afixul unui punct · în ce cadran se află un număr complex · axa reală și axa imaginară